2 Случай.Граничный характер процесса.

Данный частный случай характеризуется следующим соотношением:

,

т.е. значение подкоренного выражения в формуле для равняется нулю. Но тогда, и в выражениях для тока и напряжений получаем неопределенность вида:

.

В этом случае принимают и находят предел выражения для тока при:

.

Теперь найдем все напряжения, исходя из полученной зависимости тока от времени:

,

где мы учли, что . Тогда напряжение на конденсаторе имеет вид:

.

Как и для 1 случая, можно найти максимумы значений тока в контуре и напряжения на индуктивности:

,

и графики временных зависимостей токов и напряжений будут аналогичны предыдущему

39. Разряд конденсатора с начальным напряжением на rl-цепь.

В цепи нет источника, но зато содержится 2 реактивных элемента: катушка и емкость, обладающая напряжением в начальный момент времени. По второму закону Кирхгофа,

Продифференцируем уравнение по времени:

Определим ток в цепи:

Поскольку в цепи нет источника, , тогда

,

где и- корни характеристического уравнения:

,

откуда

.

Запишем начальные условия:

.

До коммутации ток через индуктивность не протекал, , с другой стороны,

.

Нужно еще одно уравнение (цепь 2 порядка), применим 2-й закон коммутации:

.

В момент времени

.

Тогда

.

Решая совместно и, получим:

.

Отсюда найдем ток:

Упростим полученное выражение для . Пусть

,

отметим, что

Подставив это равенство в выражение для , получим:

,

где

.

Итак, мы рассмотрели решение данной цепи в общем случае. Рассмотрим далее частные случаи и в зависимости от предполагаемых значений ипопытаемся построить графики токов и напряжений. Возможны 3 случая в зависимости от того, что получится в подкоренном выражении в формуле для:

1. иотрицательны и различны,;

2. иотрицательны и совпадают,;

ипредставляют собой пару комплексно сопряженных чисел,.

Периодический характер процесса.

Данный случай характеризуется выражением

,

т.е. корни характеристического уравнения и- комплексно сопряженные величины. Введем следующие обозначения:

,.

Тогда

.

Найдем выражение для тока в контуре:

.

Получили периодическую зависимость тока от времени, отсюда и название случая.

.

Введем новые переменные иследующим образом:

1)

2) .

Разделим и умножим выражение для на:

.

Найдем оставшуюся временную зависимость на конденсаторе. Имеем:

,

тогда

.

Заметим, что в данном случае мы имеем две постоянных времени.

График зависимости тока от времени будет иметь вид:

.

В общем виде график такого плана строится следующим образом. Очевидно, у этого графика есть 2 асимптоты – огибающие синусоиды, ведь график функции представляет собой синусоиду, амплитуда которой уменьшается по экспоненциальному закону.

Первая постоянная времени характеризует асимптоты-экспоненты, а вторая -- частоту синусоидальной функции.

Теперь займемся построением графиков непосредственно токов и напряжений. Выпишем для наглядности полученные временные зависимости:

График тока (а значит и напряжения на резисторе) будет иметь такую же структуру, как только что рассмотренный, только взятый с противоположным знаком (действительно, при замыкании контура конденсатор начинает разряжаться).

Из формулы следует, что график напряжения на индуктивности начинается из отрицательной области (в начальный момент времени), а график напряжения на конденсаторе – из такого же по модулю и противоположного по знаку значения. Напряжение на индуктивности уже достигло своего максимального значения и после коммутации спадает (по модулю), а на емкости – только приближается к максимальному значению. Исходя из этих соображений, можно качественно построить графики.

Отметим, что если , то,, т.е. график будет без затуханий: действительно, мощность не будет рассеиваться на активном элементе.