Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

edisk_files / PraktykumLA+AG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

4.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.22. Поверхні 2-го порядку

z c

b y

Еліпсоїд

Еліптичний параболоїд

Гіперболічний

параболоїд

a2 b2 c2 1

a2 b2 2z

O y

Еліптичний циліндр

Параболічний циліндр

Гіперболічний циліндр

2px

a2 b2 1

y2 1

Конус

Однопорожнинний

Двопорожнинний

гіперболоїд

a2 b2 c2 1

a y

Сфера

Гіперболічний параболоїд і однопорожнинний

x2 y2

гіперболоїд — лінійчаті поверхні.

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.23. Деякі визначні криві

a 1

0 a 1

Спіраль Архімеда

Логарифмічна спіраль

Гіперболічна спіраль

b 2a

Кардіоїда

Коло x2 y2

2ay,

Коло x 2 y2

2ax,

2a(cos 1)

2a sin ,a 0

2a cos ,a 0

Трипелюсткова роза

Лемніската Бернуллі

a sin 3

a cos 3

(x2 y2)2 a2(x2

y2 ),

cos 2

2 a

Кучер Аньєзі

Астроїда

Циклоїда

2 3

a(t

sin t),

a cos

a(1

cost)

[0;2 ]

a sin3 t,

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1. Матриці

Навчальні задачі
										4 7		5		0
										4 7		5		0
1.1. Визначити розмір матриці					A												Виписати всі рядки і
1.1. Визначити розмір матриці					A						8 1			1		.	Виписати всі рядки і
							6				8 1			1

стовпці матриці, елементи a14						та a22.
Розв’язання. [1.1.1.] Матриця A має розмір 2 4. 
Рядки матриці A:				4 7 5 0 ,

		a1
				6 8 1 1 .
		a2		6 8 1 1 .
Стовпці матриці A:
																		0
	4				7						5							0
a		,a	2				,a		3				,a		4				.
1	6		2		8				3		1				4		1
	6				8						1						1

			a		0, a			22		8. 
				14				22

Коментар. Матриця A має два рядки і чотири стовпці.

Елемент a14 розташований у 1-му рядку і 4-му стовпцеві. Елемент a22 роз-

ташований у 2-му рядку і 2-му стовпцеві.

1.2.Задано матриці:

			1	3	2			7	1 0			1	2
			1	3	2			7	1 0			1	2
		A				, B				,C
		A				, B				,C				.
		2 1			0		0		1 2		3		0

1.2.1. Визначити при яких значеннях параметрів											x та		y виконано рівність
	2
x	2
		C.
	y	C.
3	y

			x	2			1	2
			x	2			1	2		x 1,
Розв’язання. [1.2.1.]
Розв’язання. [1.2.1.]
		3		y		3			0	y 0.


1.2.2. Знайти матрицю A B.
Розв’язання. [1.2.2.]
					7 1 0					1 7	3 1
	1 3 2				7 1 0					1 7	3 1
A B
	2 1 0				0	1 2				2 0 1 ( 1)
	2 1 0				0	1 2				2 0 1 ( 1)

додаємовідповідні елементи

2 0	8	2	2
2 0	8	2	2
				.
0 2	2	0	2
0 2	2	0	2

64	Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Коментар. Матриці A та B однакового розміру 2 3 — їх можна додавати і віднімати. Щоб додати матриці A та B (того самого розміру), треба додати їхні відповідні елементи.

1.2.3. Знайти матрицю A B.
Розв’язання. [1.2.2.]
	 1 3 2	7	1 0

A
A	B
	2 1 0	0	1 2

	віднімаємо відповідні елементи
1 7	3 1 2 0			6 4 2


2 0 1 ( 1)					2 2	.
2 0 1 ( 1)		0 2	2		2 2

Коментар. Щоб відняти від матриці A матрицю B (того самого розміру), від кожного елемента матриці A треба відняти відповідний елемент матриці B.

1.2.4.	Знайти матрицю A C .
Розв’язання. [1.2.2.] Оскільки матриця A розміром 2 3, а матриця C розміром
2 2, то їх додавати не можна.
1.2.5.	Знайти матрицю 3A.
Розв’язання. [1.2.3.]
					3	1 3	( 3) 3	( 2)		3	9	6
		1 3	2		3	1 3	( 3) 3	( 2)		3	9	6
	3A 3												.
						2	3 1
		2 1	0	3		2	3 1	3 0	6 3			0

кожен елемент множимона 3

Коментар. Щоб помножити матрицю на число, треба кожен її елемент помножити на це число.

1.3.	Задано матриці:
										7	0
										7	0
		1														1	2
		1	3 2													1	2
							, B			1	1
	A						, B			1	1		,C					.
	2 1				0										3		0
											2
									0		2

1.3.1.	Знайти матрицю BT .
Розв’язання. [1.5.1.]
						7	0	T
						7	0
												7	1	0
			T									7	1	0
			T			1	1
		B				1	1						1		.
											0		1	2
							2
					0		2

міняємо рядки на стовпці

Коментар. Щоб транспонувати матрицю B, треба поміняти її стовпці на рядки і записати їх у тому самому порядку.

			1. Матриці			65
1.3.2.
1.3.2.	Знайти добуток a1 b1.
Розв’язання. [1.4.1, 1.4.2.] Рядок a1			завдовжки 3 узгоджений із стовпцем заввишки 3.
					7
					7

			1 3
	a1 b1				1
	a1 b1			2	1


				0

перемножуємо відповідні елементи і додаємо добутки

1 7 ( 3) 1 ( 2) 0 4.

Коментар. Щоб помножити рядок на узгоджений з ним стовпець, треба перемножити їхні відповідні елементи і добутки додати. Дістаємо квадратну мат- рицю1-го порядку, яку ототожнюють з числом — єдиним її елементом.

1.3.3. Знайти матрицю AB.

Розв’язання. [1.4.1, 1.4.3, 1.4.4.]

[Визначаємо можливість множення і розмір добутку.]

матриця A	матриця B
2 3	3 2

рівні добуток буде розміром 2 2

					7	0	
					7	0	
	1	3	2
	1	3	2
					1	1
AB		1	0		1	1
2		1	0
						2
				0		2

d		d
	11	12

		d	.
d	21
		12

матриці множать за правилом "рядок на стовпець"

[Знаходимо елементи добутку.]

							7			
							7			


d11 a1 b1 1		3
d11 a1 b1 1		3	2 1						4;


					0

								0			
								0			


d12 a1 b2 1		3	2								1;
d12 a1 b2 1		3	2		1						1;


								2

				7
				7
					

d21 a2	b1 2	1		1		15;
d21 a2	b1 2	1	0	1		15;


				0

				0				
				0				


d22 a2 b2 2								1.
d22 a2 b2 2		1 0 1						1.


				2

66	Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА


															4		1
														AB
														AB			.
															15		1

[Множення матриць записують ще за схемою Фалька.]
														7	0
														1	1			4

														0	2				1
														0	2	AB
																AB			.
											1 3 2 4				1		15		1
											1 3 2 4				1
											2		1	0 15	1
Коментар. Матриця A розміром 2 3																	узгоджена з матрицею B розміром
3 2.		Добуток D AB буде матрицею														2 2.
									7
									7
 1
		3	2						1			1 7		( 3) 1 ( 2) 0 4.
		3	2						1			1 7		( 3) 1 ( 2) 0 4.


							0

								0
								0

	1		2
		3					1					1 0		( 3) ( 1) ( 2) 2 1.
		3					1					1 0		( 3) ( 1) ( 2) 2 1.

								2
								2

					7
					7

 2			0
		1			1						2 7 1 1 0 0 15.
		1			1						2 7 1 1 0 0 15.


				0

					0
					0

 2		1 0
					1					2 0 1 ( 1) 0 2 1.
					1					2 0 1 ( 1) 0 2 1.

					2
					2

1.3.4.		Знайти матрицю BA.
Розв’язання. [1.4.1, 1.4.4.]
												1	3	2
												2	1	0				7	21	14
												2	1	0				7	21	14


																			4	2
				7 0 7 21 14 BA D3 3 1															4	2	.

				1 1							1		4	2				4	2	0
																		4	2	0


				0			2					4	2	0
Коментар.  Матриця B розміром 3 2 узгоджена з матрицею A розміром
2 3.		Добуток D BA буде матрицею														3 3.

1. Матриці		67
1.3.5. Знайти матрицю AC.
Розв’язання. [1.4.1.]	матриця C
матриця A	матриця C
2 3	2 2

нерівні

Оскільки матриці A і C — неузгоджені, то добуток AC не існує.

1.3.6. Знайти матрицю C 2.
Розв’язання. [1.4.8.]
	2			1	2		1	2		5	2
	2			1	2		1	2		5	2
C
C												.
			3		0	3		0	3		6

Коментар. Квадратну матрицю завжди можна помножити саму на себе. За означенням C2 C C.

1 2

3 0

1 2 5 2

3 0 3 6

1.3.7.Знайти матрицю f(C), якщо f (x) 2x2 x 3.

Розв’язання. [1.4.9.]




		f (C ) 2C 2 C 3E							2
									2
	5	2		1	2		1	0			8	2
	5	2		1	2		1	0			8	2
2						3
2						3	0						.
3		6	3		0		0	1		3		15

Коментар. Підставляємо замість x матрицю C,				а замість сталої 3 — матрицю
3E2	(E2 — одинична матриця 2-го порядку — того ж порядку, що й матриця C).
Матрицю C 2 знайдено в задачі 1.3.6.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи

	a	b

1.4.			? Чому дорівнюють елементи a			та
1.4.	Якого розміру матриця A c	d	? Чому дорівнюють елементи a		21	та
					21

	e	f

a32 ? Які індекси має елемент d ?

68	Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.5.Визначте розмір матриці A, випишіть усі рядки і стовпці матриці й елементи a23 та a32 :

		4 7	5			6 4 1 0

1)				;					;
1)	A			;	2) A				;
	6 8		1				9 0 1 2 2

		1 2	3				1 0
		1 2	3				1 0


		4 5	6	;	4)		3 4
3) A		4 5	6	;	4)	A	3 4	.

		7 8
		7 8	9				7 5

1.6.Визначте які з матриць

					5	4	3	2		c			c		c
	3	2									11		12		13
	3	2
					0	3	1	3					c		c
A			, B		0	3	1	3	,C	c		21	c	22	c	23
4		0										21		22		23
4		0
						1							c		c
				7		1	0 4			c		31	c	32	c	33
												31		32		33

є квадратними, і вкажіть порядок кожної квадратної матриці. Які елементи утворюють головну і побічну діагоналі цих матриць?

1.7.Визначте, яка з матриць є верхньою трикутною, нижньою трикутною, діагональною:

	1	0	0			1	0	0			1	4	5


	0	3	0			2	6	0			0	2	6
A				,B					,C					.

		0					4					0
0			0		3			5		0			3

			1	1				0	1
1.8.	Чи будуть одиничними матриці: 1)		1	1		2)		0	1
1.8.	Чи будуть одиничними матриці: 1)	A		1	;	2)	B		0	;
		1		1			1		0

		1	0
3)		1	0
3)	C		1	? Запишіть одиничну матрицю 4-го порядку.
	0		1

1.9.Визначте, до якого типу належать матриці:

	2	0	0							1	0	0
	2	0	0							1	0	0
						1	2
						1	2
	0 0		0	, B				,C		0 1		0	,
A	0 0		0	, B				,C		0 1		0	,
					0		5
		0	3								0	1
0		0	3						0		0	1

	2	7	6
	2	7	6
					1
					1
	7	1	0			,G (1 2 3).
D	7	1	0	; F		,G (1 2 3).
				2
		0
6		0	3

1. Матриці

1.10. Визначте, при яких значеннях

1)	5			x	(y		3);
		3		2x			3	2
		3		2x			3	2
3)										;
3)								8		;
	y			8		1		8

			2					x	1 4
	x			1 z				x	1 4
5)											;
5)		2		3					y 1		;
		2		3	x			2
								2

x, y та z	рівні матриці:
		6x
		6x				9
2)
2)		25					;
		25			5y

										0	4
	x 1					4				0	4
4)												;
4)												;
	y 3				7				2		7

		1	4	3				1	4	3
		1	4	3				1	4	3

								2 2 4
6) x 2 4								2 2 4			.

			1	z					1	0
	9		1	z			y		1	0

1.11.Чи можна додати дві матриці розмірами 2 3 та 3 1 ? Чи можна від матриці відняти ту саму матрицю? Що дістанемо?

1.12.Для яких матриць означено добуток AB ? Чи можна помножити рядок завдовжки n на стовпець заввишки n ? Як обчислити елементи матриці AB ?

1.13.Чи можна помножити матрицю розміром 2 3 на матрицю такого самого розміру? У якому разі існують добутки AB та BA ? У якому разі існує добуток AA ?

1.14.Чи правдива тотожність AB BA ? Чи можлива рівність AB O, якщо A та B — ненульові матриці?

1.15.Задано матриці A1 3,B4 1,C3 5. Чи існують добутки: 1) AB; 2) AC; 3) BA; 4) CA; 5) ABC ?

1.16.Визначте параметри m та n, якщо:

1) A Xm n B2 3;	2) A Xm n B3 4 ;
3) 3Xm n A4 3;	4) 2Xm n A2 2;
5) A5 9Xm n B5 1;	6) A5 mX7 n B5 6;
7) Bm n (A3 2 )T ;	8) B5 n A4 m T .

1.17.Нехай A Am n . Які розміри будуть у матриці AT ? Вкажіть номери рядка і стовпця на перетині яких стоїть елемент aij в матриці AT .

1.18.Чи для кожної матриці існує транспонована матриця? Чому дорівнює матриця (AT )T ? Чи можуть збігатись матриці A та AT ?

70	Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.19. Задано матриці:

								1	2
								1	2
	1	1
	1	1			1 1
								4	0		,
A			, B			,C		4	0		,
2		0			2 3
									7
							5		7

	3				3 1 0				2	1 0
	3	1			3 1 0				2	1 0


	1	0			2 5 6		, M		1	2 1
D	1	0		, L	2 5 6		, M		1	2 1		.


4		1		1 4 3				3		2 1

Знайдіть:

1)a1 a2, a1 a2, a2 a1, 2a1 3a2, a1 a2;

2)b1 b2, b1 b2, b2 b1, 3b2 2b1, b1 b2 ;

3)A B, A B, 2A 3B, A C, A E2;

4)C D,C D, D C, D B, B E2;

5)L M, 3L M, L C, L E3 ;

6)L M, 2L 3M, M D, M E3;

7) a1 a1, a1 a1, Aa1, a1A;				8) b1 b1, b1 b1, Bb1, b1B;
9) AB, A2, ATB;				10)		BA, B2, ABT ;
11) AT BT , (AB)T ;				12)		BT AT , (BA)T ;
13) AC,CA,CT A;				14)		BD, DB, DTB;
15) CCT ,CTC,C 2,CD;				16)		DDT , DT D, D2, DC ;
				18) d M, Md , ML, M 2, DM, MD;
17) c L, Lc , LM, L2,CL, LC;				18) d M, Md , ML, M 2, DM, MD;
1	1					1	1
19) c1Lc1,CLA, ACL;				20) d1Md1, DMB, BDM, MDB.
				0	1
	1 1			0	1
1.20. Задано матриці A		,	B
1.20. Задано матриці A		,	B			.
	0 1		1		0

Знайдіть матрицю X із рівняння:

1)	3A	1	X B;	2)
		2

Знайдіть матриці X та Y із системи:

X Y A,

3) 4)

2X 3Y B;

2A 5X B.

2X 3Y A,

3X 2Y B.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке edisk_files

#
12.05.20153.41 Mб17PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf

					5	4	3	2		c			c		c
	3	2									11		12		13
	3	2
					0	3	1	3					c		c
A			, B		0	3	1	3	,C	c		21	c	22	c	23
4		0										21		22		23
4		0
						1							c		c
				7		1	0 4			c		31	c	32	c	33
												31		32		33

					5	4	3	2		c			c		c
	3	2									11		12		13
	3	2
					0	3	1	3					c		c
A			, B		0	3	1	3	,C	c		21	c	22	c	23
4		0										21		22		23
4		0
						1							c		c
				7		1	0 4			c		31	c	32	c	33
												31		32		33

					5	4	3	2		c			c		c
	3	2									11		12		13
	3	2
					0	3	1	3					c		c
A			, B		0	3	1	3	,C	c		21	c	22	c	23
4		0										21		22		23
4		0
						1							c		c
				7		1	0 4			c		31	c	32	c	33
												31		32		33