Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

edisk_files / PraktykumLA+AG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

4.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

		8. Комплексні числа		131
[2.19.4]		sin 2	arctg 2 sin 1 cos 1
arg z arctg		sin 2		arctg tg 1 1.
arg z arctg	1	cos 2		arctg tg 1 1.
	1	cos 2	2 cos2 1

[2.19.1]

z2 cos 1 (cos 1 i sin 1) 2 cos 1 ei .

8.4.1.Знайти алгебричну форму числа ( 1 i3)12.

Розв’язання. [2.19.8.]

[Записуємо число z 1 i3 у тригонометричній формі [2.19.1].]

x 1 0, y 3 0

число розташоване у 3-й чверті

		( 1)2 (
	z	( 1)2 (		3)2 4 2;

			3
			3

arg z arctg			1		3
			1		3

[Застосовуємо формулу піднесення до степеня.]

		[2.19.8]				2
						2
	12		12
z			2	cos	12		i sin	12

						3

23 .

модульпідносимо достепеня,аргумент множимо на степінь

212(cos( 8 ) i sin( 8 )) 212(cos 0 i sin 0) 212 4096.

8.4.2.Знайти алгебричну форму числа ((1 i3)(2 2i))4.

Розв’язання.
[Записуємо числа z1			1 i 3,			z2	2 2i				у тригонометричній формі.]

				Re z1 1 0, Im z1 3 0;
															;

	z	1			12 (	3)2		2;			arctg			3
		1								1				3
														3

					z1 2					i sin
					z1 2		cos			i sin			.
									3
									3			3

Re z2 2 0, Im z2 2 0;

	z2		22 ( 2)2 2
	z2		22 ( 2)2 2						2;
2		arctg 2										;
					2			4		4
					2
z2		2 2
z2		2 2		cos			i sin						.
											4
						4					4

[Обчислюємо добуток z1z2

		[2.19.5]
z z	2		2	cos
1	2
					3
					3

у тригонометричній формі.]


i sin		2	2
i sin		2	2	cos		i sin

	3				4		4

модулі перемножуємо,аргументи додаємо

132	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА




4	2	cos			i sin		4	2	cos		i sin		.
										12
			3	4	3	4				12		12

[Застосовуємо формулу піднесення до степеня.]

					4	[2.19.8]												4
						[2.19.8]												4

((1 i		3)(2 2i))								4		2 cos		i		sin
((1 i		3)(2 2i))								4		2 cos		i		sin
													12
													12				12
			4

	4			i sin				4			1024					i sin
(4 2)		cos		i sin							1024		cos			i sin
			12					12							3
			12					12							3				3

					1			3
					1			3
											512 512					3i.

		1024					2		i
				2			2


													10
											1 i 3		10
											1 i 3

8.4.3. Знайти алгебричну форму числа											2 2i		.
											2 2i

Розв’язання. [2.19.7.]
[Використовуємо тригонометричну форму чисел																																							1 i 3					та	2 2i			із зад.
8.4.2. Ділимо комплексні числа у тригонометричній формі.]
Користуючись результатом попереднього пункту, маємо
												z
												z									2 cos 3											i sin 3							[2.19.7]
													1

											z2						2			2 cos											4		i sin					4

				1																																		1			7					7
																			i																								i sin
							cos															sin																	cos								.
							cos															sin																	cos								.
																																						2			12
					2					3					4													3					4					2			12					12
[Застосовуємо формулу піднесення до степеня.]
								1 i									10																7						7	10 [2.19.8]
														3			10							1																10 [2.19.8]
														3										1
																																			i sin

																													cos
									2 2i																								12
									2 2i																	2							12						12
																										2
		1					70										70											1																		3		i

			cos							i				sin																cos							i sin												.
							12																																			6			64			64
		32					12											12									32									6						6			64			64
8.5.1.	Знайти всі значення 4																						і зобразіть їх на комплексній площині.
8.5.1.	Знайти всі значення 4																			1			і зобразіть їх на комплексній площині.
Розв’язання. [2.19.10.]
[Записуємо число 1 у тригонометричній формі.]
																				1				cos i sin .
[Записуємо спільну формулу для значень кореня.]
					4			[2.19.10]																	2 k									i sin 2 k , k
					4	1												cos							2 k																			0, 3.
						1												cos																										0, 3.
																k													4										4
																													4										4

[Виписуємо всі окремі значення кореня.]

8. Комплексні числа

133

							cos i sin																		2		i			2	;
					0		cos i sin																				i				;
					0								4					4			2								2
													4					4			2								2
				cos 3 i sin 3																							2	i			2	;
				cos 3 i sin 3																								i				;
			1									4						4								2					2
												4						4								2					2		y
		5										5						2					2										y
2	cos	5		i sin								5						2		i			2			;							1	0
			4										4				2					2											1	0
			4										4				2					2
3	cos		7			i sin							7				2		i		2			.									O	x
3	cos		4			i sin							7						i					.									O	x
			4										4			2					2												2	3
[Зображуємо знайдені значення на комплексній площині,																																	2	3
[Зображуємо знайдені значення на комплексній площині,
використовуючи полярну систему координат.]																																	Рис. до зад. 8.5.1
8.5.2. Знайти всі значення 5													і зобразіть їх на комплексній площині.
8.5.2. Знайти всі значення 5										i			і зобразіть їх на комплексній площині.
Розв’язання. [9.4.1, 9.4.8.]
[Записуємо число i у тригонометричній формі [2.19.1].]
									Re z 0, Im z 1 0.

							z							02 12				1; arg z												;
							z							02 12				1; arg z												;
												i		cos				i sin						.					2
																													2

																2								2
[Записуємо спільну формулу для значень кореня.]
																								[2.19.10]
								5 cos i sin																[2.19.10]
								5 cos i sin
													2					2				k
													2					2
											2 k															2 k
											2 k															2 k

	cos														i sin														, k		0, 4.
													5														5
				10									5							10							5

[Виписуємо всі окремі значення кореня.]


		cos		i sin			,			cos	i sin ,
	0	cos		i sin			,			cos	i sin ,
	0		10		10			1		2	2
				2	cos 9 i sin 9 ,
				2	10					10
					10					10
3		cos	13		i sin	13			,			y	w1
3		cos	10		i sin	10			,			w2
			10			10							w0
4		cos	17		i sin	17			.				w0
4		cos	17		i sin	17			.			O	1 x
			10			10
[Зображуємо знайдені значення на комплексній площині, ви-												w3	w4

користовуючи полярну систему координат.]

Рис. до зад. 8.5.2

134	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

8.6.1. Зобразити на

площині множини

точок,

що

справджують

умову

z 1

Розв’язання. [2.16.1, 2.19.3.]

[Використовуємо геометричний зміст умови.]

Im z

z |

z 1

— множина точок, віддалених від то-

чки z 1 на віддаль

3 — це коло з центром у точці z 1 і

O 1

Re z

радіусом 3 .

[Зображуємо розв’язок.]

Рис. до зад. 8.6.1

8.6.2. Зобразити на

площині множини

точок,

що

справджують

умову

z i z i .

Розв’язання. [2.16.1, 2.19.3.]

І спосіб (геометричний).

[Використовуємо геометричний зміст умови.]


z \|	z i		z i		— множина точок рівновіддале-

них від точок z1		i		та z2 i — пряма, яка перпендику-
лярна до відрізка z1z2				і проходить через його середину.

[Зображуємо розв’язок.]

ІІ спосіб (аналітичний).

Нехай z x iy, x, y .

Im z


	O	Re z
i

Рис. до зад. 8.6.2

[2.19.2]

z i

x i(y 1)

x2 (y 1)2;

z i

x i(y 1)

x2 (y 1)2 .

z i

x2 (y 1)2

x2 (y 1)2 x2 (y 1)2 y 0.

[Зображуємо розв’язок.]

8.6.3. Зобразити			на площині		множини точок, що справджують

(	z			arg z
(	z	1)		arg z	.


		3			2

Розв’язання. [2.19.4.]

[Використовуємо геометричний зміст умови.]


	z		arg z
z \|	z	1	arg z


		3		2

ташованих усередині круга з межею

між променями		та	.
	3		2

множина точок, роз-	Im z
множина точок, роз-		2

z 1: x2 y2 1

умову

Re z

Рис. до зад. 8.6.3

8. Комплексні числа

135

8.7.З’ясувати геометричний зміст співвідношень:

1)		z z0	a;	2)		z z0	a;
3)		z z0	a;	4)	arg z ;

5)	Re z a;			6)	Im z b.

Розв’язання. [2.16.1, 2.19.3, 2.19.4.]

1)Множиною точок, віддаль яких від точки z0 дорівнює a, є коло з центром у точці z0 радіусом a .

2)Нерівність описує внутрішність круга з центром у точці z0 радіусом a .

3)Нерівність описує зовнішність круга з центром у точці z0 радіусом a .

Im z			Im z			Im z
z	0	a		z0	a		z0	a
	0	a			a			a
O		Re z	O		Re z	O		Re z
O		Re z	O		Re z
Рис. до зад. 8.7.1)			Рис. до зад. 8.7.2)			Рис. до зад. 8.7.3)

4)Рівняння задає промінь, що виходить з початку координат під кутом з додатним напрямом дійсної осі.

5)Вертикальна пряма x a.

6)Горизонтальна пряма y b.

8.8. Розв’язати рівняння z3 z 2 0 (z ).

Розв’язання.

[Підбираємо дійсний корінь рівняння. ]

Число z 1 — корінь рівняння.

[Застосовуємо схему Горнера. ]

			1	0		1	2

		1	1	1		2	0
	2							z	1	1,
								z		1,
(z 1)(z		z 2)
(z 1)(z		z 2)			0				2
									2	z	2	0.
							z			z	2	0.

[Розв’язуємо квадратне рівняння.]

136	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

			z2 z 2 0;
			D 1 8				7;
							2 k

										2 k
7	7(cos i sin )			7	cos				i sin	, k 0, 1;
								2
								2		2
								1 i 7 .
		7 i		7	z	2,3		1 i 7 .
						2,3			2
									2

[Записуємо відповідь.]

z 1, z	2,3	1 i 7 .
1	2,3	2
		2

Коментар. Кубічне рівняння з дійсними коефіцієнтами завжди має принаймні один дійсний корінь, який є дільником вільного члена рівняння.

Або ділимо многочлен z3 z 2

на многочлен (z 1) у стовпчик.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

8.9.Знайдіть дійсні числа x та y з рівняння:

1) (2x y) (x 3y)i 3 i;

2) (x 5y) (x 2y)i 17 8i.

8.10. Знайдіть z1 z2, z1z2, z2 z1, zz1 , якщо z1 2 3i, z2 2 3i.

8.11. Обчисліть:

1) (1 5i)( 2 3i);				2) (1 2i)2;
3)	1 2i		;	4)		4i	.
		1 2i			2	i

8.12. Зобразіть комплексні числа точками комплексної площини:

1)	2 i;	2)	2 i;
3) 3 2i;		4) 2 3i;
5) 1 0i;		6) 0 3i.

8.13.Назвіть комплексне число, спряжене з заданим. Зобразіть задане та спряжене числа точками площини:

1) 1 i;		2)	5;
3)	2i;	4)	2 3i;
5)	5i 4;	6)	0.

				8. Комплексні числа		137
8.14. Обчисліть:
1)	1	;			2) i4 i14 i24 i34 i44 ;
1)		;			2) i4 i14 i24 i34 i44 ;
i3
3) i i2 i3				... in,n 4;	4) i i2 i3	i50.
8.15. Запишіть число у тригонометричній і показниковій формах:
1) 1;					2) 1;
3) i;					4) i;
5) 1 i;					6) 1 i;
7) 1 i;					8) 1 i;

9)					10) 1		3	i;
		3 i;					3
		3 i;
					2	2
11) cos			i sin ;		12) 1 cos i sin ;
		7		7

13)sin i cos .

8.16.Обчисліть:

1)5(cos10 i sin 10 ) 2(cos 80 i sin 80 );

								6
2)				i sin		6
2)	2	cos		i sin		6	cos
			7					7
			7		7			7

3) cos140 i sin140 ; cos 50 i sin 50


i sin	6
		;


	7

4) 5(cos109 i sin109 ). 3(cos 49 i sin 49 )

8.17.Зобразіть на площині множини чисел, модуль та аргумент яких справджують умову:

1)	1,		;	2)	3;
		3
3)	3;			4)	3;
5) 2 3;				6)		;
					4
7) 0		;		8) 0 .
	6

138	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

8.18. Зобразіть на площині множини чисел, які справджують умову:

Re z 0;

Im 2;

Re z

Im z

z 3 2i

z 1

;

z 1

;

z 1

z i

;

10)

z 1

z i

8.19.Обчисліть: 1) (1 i)25;

	1			20
				20
			3i
					;
3)		1 i			;
		1 i

8.20.Знайдіть усі значення коренів:

1)31;

3) 3 4i;

5) 6 1 i ;

3 i

												200
		3					1					200
		3					1
2)									i				;

		2					2
		2					2

		1											24
									3i				24
									3i
4)
4)						1 i							.
						1 i

2)	4				;
2)	4		i		;
4)	3										;
4)	3		2 2i								;

6)	4			1				i		.
6)	4									.
			1 i				3

8.21. Розв’яжіть рівняння у множині комплексних чисел:
1) z2 2z 5 0;				2) 4z2 2z 1 0;
3) z3 6z 9 0;				4) z3 6z 4 0.
8.22. Розв’яжіть систему лінійних рівнянь:
	i)z (4 2i)z		1 3i,		i)z		(2 i)z		6,
(3	i)z (4 2i)z	2	1 3i,	(2	i)z	1	(2 i)z	2	6,
	1	2				1		2
1)	2i)z1 (2 3i)z2 7;			2)	2i)z1 (3 2i)z2 8.
(4	2i)z1 (2 3i)z2 7;			(3	2i)z1 (3 2i)z2 8.

8.23.Перетворіть на добуток:

1)sin sin 2 sin 3 ... sin n ;

2)cos cos 2 cos 3 ... cosn .

																					8. Комплексні числа																													139
Відповіді
8.9. 1) x 2, y 1; 2)												x 2, y 3.
																										z1			1 2
8.10. z1 z2						2						5,																							6i .
																z2			z1			2	3i,
									2, z1z2
									2, z1z2																							5
																									z2							5
8.11. 1) 17 7i; 2)											3 4i; 3)								3			4 i;	4) 4 8 i.
																				5		5	5					5
8.14. 1) i; 2) 1; 3) 0,											якщо n 4k, i, якщо n 4k 1,																							i 1,					якщо n 4k 2,								1, якщо
n 4k 3;						4) i.

8.15. 1) cos 0 i sin 0; 2)													cos i sin ; 3) cos															i sin						; 4)				cos				i sin						;
8.15. 1) cos 0 i sin 0; 2)													cos i sin ; 3) cos														2	i sin				2		; 4)				cos		2		i sin					2	;
																				3				3												5						5
																				3				3												5						5
5)		2 cos				i sin					; 6)			2 cos								i sin						; 7)			2 cos								i sin					;
					4					4																									4							4
					4					4										4				4											4							4
																				2 cos
8)		2 cos 4 i sin										4 ;9)								2 cos			6 i sin 6 ;
				4			4								6							6
10)	cos			3 i sin							; 11)		cos						i sin 7 ; 12)									2 cos				cos						i sin					,	якщо cos						0,
10)	cos			3 i sin				3			; 11)		cos			7			i sin 7 ; 12)									2 cos		2		cos				2		i sin			2		,	якщо cos					2	0,
				cos					i sin										, якщо cos
2 cos																											0; 13)						cos					i sin								.
																									2
			2				2										2								2												2								2
8.16. 1) 10i; 2) 12; 3) i;													4) 5							5		i.
8.16. 1) 10i; 2) 12; 3) i;													4) 5									i.
													6					2		3

8.17. 1) точка M 1; 3 ; 2) коло радіусом 3 з центром у т. O; 3) круг радіусом 3 із центром у

т. O; 4) зовнішні точки круга; 5) кільце без своїх меж; 6) промінь із т. O; 7) кут; 8) верхня відкрита півплощина.

8.18. 1) відкрита півплощина, праворуч від уявної осі;

2) півплощина, розташовану нижче горизонтальної прямої y 2; 3) вертикальна смуга;

4)зовнішність горизонтальної смуги;

5)круг радіусом 1 із центром у т. O;

6)зовнішність круга радіусом 1 із центром у т. 3 2i;

7)уявна вісь;

8)права півплощина;

9)бісектриса 2-ї та 4-ї чверті;

10)півплощина x y 0.

										1
8.19. 1) 212(1 i); 2)										1	( 1		i			3); 3)		29(1 i 3); 4) 212.
8.19. 1) 212(1 i); 2)										2	( 1		i			3); 3)		29(1 i 3); 4) 212.
8.20. 1) cos						2 k	i sin				2 k		,k 0,1, 2; 2)							cos 1 4k i sin								1 4k	, k
						2 k					2 k																	1 4k		0, 3;
											3																	8		0, 3;
					3						3										8							8
3) 2 i, 2 i; 4)													8k 3				i sin				8k 3				,	k 0,1, 2;
3) 2 i, 2 i; 4)									2 cos								i sin								,	k 0,1, 2;
															12						12
															12						12
		1			24k 19										24k 19
		1			24k 19										24k 19
5)				cos				i sin											,		k 0, 5;
	12
	12
			2		72										72
	1				13 24k										13 24k
	1				13 24k										13 24k

6) 8								i sin											,		k 0, 3.
6) 8		2		cos	48			i sin							48				,		k 0, 3.
		2			48										48
								1						i; 3)		3, 3 i							; 4)
8.21. 1) 1 2i; 2)												3										3		2, 1
												3															3.
								4																			3.
								4			4							2

140

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

8.22. 1)

z1 1, z2

i; 2) z1

2 i,

z2 2 i.

sin

(n 1)

sin

cos

(n 1)

8.23. 1)

; 2)

sin

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке edisk_files

#
12.05.20153.41 Mб17PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf