Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

edisk_files / PraktykumLA+AG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

4.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

10. Задачі на прямі й площини

151

Нехай точка M(r ) P. Площину P, що проходить через точку M0(r0 ) перпе-

ндикулярно до вектора s задає рівняння (див. зад. 9.6)

[3.4.6]

(r r0,s ) 0 1(x 1) 2(y 1) 3z 0.

Рівняння шуканої площини

P : x 2y 3z 3 0.

10.2. Записати рівняння площини P,

		3t,
	x 2	3t,


L		паралельно прямійL
L	: y 4,	паралельно прямійL
1		2

	z t 1,

яка проходить			через пряму
:	x 1	y 2	z 3 .
	0	1	2

Розв’язання. [3.3.4, 3.4.4.]

З рівнянь		прямих L1			та			L2			випливає,			що точка
M1(2;0;1) P та напрямні вектори прямих L1														та L2
												0
				3								0


		s			0		s					1
		s	(L )		0	,	s		(L )			1	.
		1	1				2			2


				1							2

Вектори		та s	— неколінеарні, бо 0 1.
Вектори	s	та s	— неколінеарні, бо 0 1.
1		2									1		2
											1		2

Нехай M(r ) P. Площину P, яка проходить через точку M1

торам s1 та s2 задає рівняння (див. зад. 9.8):

					[2.15.4]	x 2	y	z 1
(				s2) 0		3	4	1	0
(	r	r1,	s1,	s2) 0		3	4	1	0
						0	1	2

(x 2) 9 y ( 6) (z 1) ( 3) 0.

	L2
	s2
	P
L1	s1
M0	M

Рис. до зад. 10.2

паралельно век-

Рівняння шуканої площини

P: 3x 2y z 5 0.

10.3.Записати канонічні й параметричні рівняння прямої L, яка проходить

через точку M0(1; 4;3) перпендикулярно до площини

P : 3x y 5 0 .

Розв’язання. [3.3.4, 3.4.5.]

Оскільки пряма L перпендикулярна до площини P, то за напрямний вектор шуканої прямої L можна взяти нормальний вектор площини P :

152	Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Нехай точка

r r0

		3
		3



s(L) n(P) 1			.


	0

) L. Тоді (див. зад. 9.2)

x 1

y 4

колінеарний n 1

z 3

1 3t,

x 1

y 4

z 3

L :

4 t,

M0 n P

Рис. до зад. 10.3

t .

		5t,
	x 7	5t,


10.4		t,	і площини
10.4	Знайти точку перетину прямої L : y 4	t,	і площини

		4t
	z 5	4t

P : 3x y 2z 5 0.

Розв’язання.

З рівнянь площини P і прямої

		3
		3


		1
n(P)		1	,


	2

L випливає, що

	5
	5


	1
s(L)	1	.


4

M P

Рис. до зад. 10.4

Вектори n та s — не перпендикулярні [2.10.4], оскільки

3 5 ( 1) 1 2 4 22 0.

Отже, площина P і пряма L перетинаються в одній точці, координати якої знайдімо із системи:


P : 3x y 2z 5 0.



		5t,
	x 7	5t,
		t,
L : y 4		t,


		4t
	z 5	4t

3(7 5t) (4 t) 2(5 4t) 5 0; 22t 22 0;t 1.

[Підставляючи знайдене значення параметра t 1 у параметричні рівняння прямої, дістаємо координати точки перетину.]

10. Задачі на прямі й площини

153

		5 ( 1)	2,
	x 7	5 ( 1)	2,


P L M		( 1)		(2; 3;1).
P L M	: y 4	( 1)	3, M	(2; 3;1).

		4 ( 1)	1;
	z 5	4 ( 1)	1;

Коментар. Стислий загальний розв’язок задачі:

Площина P n і пряма L s перетинатимуться лише в одній точці, якщо

P L n s (n, s ) 0.

) L,

ts ,

M (

) P

(

)

(r0 ts r1,n) 0 t(s ,n) (r0 r1,n) 0;

(

r0,n)

s .

(s ,n)

10.5. Знайти проекцію точки M0(1;0;1) на площину P : 4x z 12 0.

Розв’язання.

[Крок 1.] Пряма L, яка проектує точку M0 на площину P пе-				L
рпендикулярна до P, а отже має параметричні рівняння (див.				M0
зад. 10.3)				P
зад. 10.3)				M
		1 4t,		M

x


		0,
L : y		0,		Рис. до зад. 10.5
				Рис. до зад. 10.5
		1 t.
z		1 t.

[Крок 2.] Знайдімо точку M		— проекцію точки M0 — точку перетину прямої
L і площини P (див. зад. 10.4):
		z 12 0,
4x		z 12 0,

	1 4t,
x	1 4t,
			M ( 3; 0; 0).
M :	0,		M ( 3; 0; 0).
y	0,

	1 t
z	1 t

154	Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ


					x 3t,


10.6. Знайти проекцію точки M			(2; 1;3) на пряму L
10.6. Знайти проекцію точки M			(2; 1;3) на пряму L		: y 5t 7,
		0

					z 2t 2.
Розв’язання.
Розв’язання.
[Крок 1.] Площина P,	що проектує точку M0			на пряму L, має			L
рівняння (див. зад. 10.1):							M P
(r r0,s ) 0						M0
3x 5y 2z 7 0.						M0
3x 5y 2z 7 0.					Рис. до зад. 10.6
					Рис. до зад. 10.6
[Крок 2.] Знайдімо точку M — проекцію точки M0 — точку перетину прямої
L і площини P (див. зад. 10.5):

P : 3x 5y 2z 7 0,



	x 3t,
					2; 4).
				M (3;	2; 4).
		7,
L :	y 5t	7,

		2
	z 2t	2

10.7. Записати рівняння прямої L, яка проходить через точку M0(5;2; 4) пер-

		3t,
	x 2	3t,


пендикулярно до прямої L			4t,t .
пендикулярно до прямої L	: y 1		4t,t .
1

	z 2t,

Розв’язання.
[Крок 1.] Знайдімо проекцію точки M0				на пряму L1 (див. зад. 10.6).
Рівняння площини P, яка проектує точку M0					на пряму L1 :
Рівняння площини P, яка проектує точку M0					на пряму L1 :		L1		s1
P : 3x 4y 2z 31 0.						L		M0
Проекція точки M		на пряму L — точка M			:	L	M	M0
Проекція точки M	0	на пряму L — точка M			:	P	M
	0		1			P
						Рис. до зад. 10.7

		3x 4y 2z 31 0,

			2 3t,
		x	2 3t,
					M (5; 3;2).
			1 4t,		M (5; 3;2).
		y	1 4t,

			2t.
		z	2t.
					та M (див. зад. 9.3):
[Крок 2.] Проведімо пряму L через точки M0					та M (див. зад. 9.3):
			L : x 5 y 2 z 4 .
			0	1	2

							10. Задачі на прямі й площини									155
10.8. Знайти	точку,				що		симетрична					точці		M1(2; 5;7) щодо		прямої
L : x 5	y 4 z 6 .
1			3			2
Розв’язання.
[Крок 1.] Знайдімо проекцію точки M1 на пряму L — точку M1 (див. зад. 10.6):
					M (3; 2;2).											L
[Крок 2.] Точка M					1						M M					L
[Крок 2.] Точка M		2	поділяє відрізок								M M		у відношенні			M2
		2									1	1				M2
2 [2.6.7], отже,
2 [2.6.7], отже,														M	1	M
					2										1	1
				r	2	r		r
			2			1			1
														Рис. до зад. 10.8
										2		4
					3					2		4


	r
	r		2 2						5		1		M (4;1; 3).
		2												2

					2				7		3

Коментар. Точку M2 таку, що				називають симетричною

	M1M2		M1M1
точці M1 щодо прямої L, де M — проекція точки M1				на пряму L.
10.9. Знайти точку, що симетрична		точці M1(1;3; 4) щодо площини

P : 3x y 2z 0.

Розв’язання.
[Крок 1.] Знайдімо проекцію точки M1													на площину P — точ-					M1
ку M (див. зад. 10.5):																		M
1						M ( 2;2; 2).												P	1
																		P
																		M
							1											M	2
[Крок 2.] Точка			M		поділяє				відрізок				M M			у відношенні			2
[Крок 2.] Точка			M	2	поділяє				відрізок				M M			у відношенні		Рис. до зад. 10.9
2 , отже,				2									1		1			Рис. до зад. 10.9
2 , отже,
										2
									r	2		r		r
								2			1		1
							2			1
							2			1			5


		r					2			3							( 5;1; 0).
		r			2		2			3			1		M		( 5;1; 0).
		2														2


							2		4				0

Коментар. Точку M2							називають симетричною точці M1 щодо площини P,
якщо						,	де M		— проекція точки M1 на площину P.

	M1M2	M1M1

156	Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

10.10. Записати рівняння спільного перпендикуляра L до мимобіжних прямих:

									L :						x 6												y 1									z 10						,
									L :																																	,
										1						1													2								1
																1													2								1
									L :								x 4											y 3									z 4				.
									L :																																.
										2								7											2									3
																		7											2									3
Розв’язання. [3.6.1.]
З рівнянь прямих					L1					та							L2					випливає,												що					точка							L1
M1(6;1;10) L1 та точка										M2( 4;3; 4)																			L2					і напрямні
M1(6;1;10) L1 та точка										M2( 4;3; 4)																			L2					і напрямні												s
вектори прямих																																												N11						L2
вектори прямих																																												N11				s2		L2
							1																																					M1						M2
							1															7																											N2
																																																	N2
				s			2															2

										, s				2											.
			1											2
																																												Рис. до зад. 10.10
																																												Рис. до зад. 10.10
						1														3

[Переконаймося, що прямі L1																та L2 — мимобіжні.]

																																		10




										M M r r 2																														;
														1 2										2					1
														1 2										2					1

																																		6

			[2.12.6]				i				j							k
			[2.12.6]				i				j							k																											8


		[s , s ]				1				2								1					i 8 j ( 4) k 16
		[s , s ]				1				2								1					i 8 j ( 4) k 16																						4		.
1			2

						7				2						3
						7				2						3																													16
							(


								r2					r1			,		s1,			s2 ) (									r2				r1,[s1,					s2 ])
				( 10) 8 2 4 ( 6) 16 168																																							0.
Отже, прямі L1				та L2 — мимобіжні.
[Крок 1.] За нормальний вектор площини																																			P,				яка				проходить				через			пряму
L1(M1;
L1(M1;	s1) паралельно прямій L2(M2;s2), візьмімо вектор
																																8
																																8


																			[s , s													4
																			[s , s							]						4		.
																				1				2


																															16

або колінеарний йому вектор

																																			2
																								1

												n(P)														[s , s
												n(P)														[s , s							] 1					.
																													1 2
																								4
																								4
																																			4

								10. Задачі на прямі й площини				157
[Крок 2.] Площину P1, яка містить пряму L1											і перпендикулярна до площини
P		(P) задамо рівнянням
P	n	(P) задамо рівнянням
									x 6	y 1 z 10
									x 6	y 1 z 10
		(			,			) 0	1	2	1	0
		(	r	r1	,	s1,	n	) 0	1	2	1	0
									2	1	4
			(x 6) 9 (y 1) 6 (z								10) ( 3)	0;

P1 : 3x 2y z 6 0.

[Крок 3.] Площину P2, яка містить пряму L2 і перпендикулярна до площини

P n(P) задамо рівнянням

							x 4	y 3	z 4
(			,			) 0	7	2	3	0
(	r	r2	,	s2,	n	) 0	7	2	3	0
							2	1	4

(x 4) 5 (y 3) ( 34) (z 4) ( 11) 0; P2 : 5x 34y 11z 38 0.

[Крок 4.] Шукану пряму L — спільний перпендикуляр до прямих L1 та L2 —

задамо перетином двох площин P1 та P2 :

3x 2y z 6 0, L :

5x 34y 11z 38 0.

Коментар. Можлива така схема розв’язання цієї задачі.

[Крок 1.] За нормальний вектор площини P, яка проходить через пряму

L1(M1;s1) паралельно прямій L2(M2 ;s2 ) (див. зад. 10.2 та Коментар до зад. 9.8)

візьмімо вектор

n(P) [s1,s2 ].

[Крок 2.] Площину P1, яка містить пряму L1 і перпендикулярна до площини

P [s1, s2 ] задамо рівнянням

(r r1, s1,[s1,s2 ]) 0.

[Крок 3.] Площину P2, яка містить пряму L2 і перпендикулярна до площини

P [s1, s2 ] задамо рівнянням

(

s2 ]) 0.

r2, s2,[

s1,

[Крок 4.] Шукану пряму L — спільний перпендикуляр до прямих L1 та L2 —

задамо перетином двох площин P1

та P2

]) 0,

(r r , s ,[s , s

1 1

(r r , s ,[s , s ]) 0.

2 2 1 2

158	Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Вектор [s1, s2 ] — напрямний вектор прямої L, а оскільки s1 [s1, s2 ], s2 [s1,s2 ],

то прямі L та L1 — перетинаються в точці N1, а прямі L та L2 в точці

N2 N1. Пряма L N1N2 — спільний перпендикуляр до прямих L1, L2.

10.11.Записати рівняння площини P, яка рівновіддалена від двох площин:

P1 : x z 5 0, P2 : 3x 5y 4z 0.

Розв’язання. [3.11.5]

Знайдімо множину точок, рівновіддалених від площин P1 та P2 .

[3.11.5]		x z 5		x z	5
[3.11.5]
d(M,P )						;


1	12 02 ( 1)2		2
	12 02 ( 1)2		2

d(M,P )	3x 5y 4z			3x 5y	4z	.
	3x 5y 4z			3x 5y	4z

2		32 52 42	5 2
		32 52 42	5 2

d(M, P ) d(M, P )

x z 5

3x 5y

;

x z 5

3x 5y 4z

;

5(x z 5) (3x 5y 4z);

5x 5z 25 3x 5y 4z,

5x 5z 25 3x 5y 4z.

Отже, оскільки площини P1 та P2 — не паралельні, дістанемо рівняння двох

«бісекторіальних» площин:

P : 2x 5y 9z 25 0, P : 8x 5y z 25 0.

Коментар. Стислий загальний розв’язок задачі: Знайдімо множину точок M :

								d(M,P1) d(M, P2 )
		(					,					0 ) p									(			,				0 ) p
		(			r		,			n		0 ) p									(	r		,		n		0 ) p
									1									1										2		2
(						,					0 ) p ((														,				0 ) p )
(			r			,		n			0 ) p ((												r		,		n		0 ) p )
									1									1										2		2

																			p1	p2
													0																					0				0
													0																					0				0
				(r ,n											)													0,				n				n				,
				(r ,n											)													0,				n				n				,
												1								2											1					2
																				2
																			p1	p2
														0																			0						0
														0																			0						0
P :				(r ,n1 )																								0,			n1					n2					,
																				2
									0							0
	(r,n								0							0					p								0,
	(r,n											n						) p			p								0,
		1													2					1							2								0		0
		1													2					1							2								0		0
									0								0															n1				n2 .
	(r,n								0								0	) p p 0,														n1				n2 .
	(r,n											n						) p p 0,

		1													2					1							2
		1													2					1							2

		10. Задачі на прямі й площини		159
		3x y 2z 9 0,
10.12. Через пряму		3x y 2z 9 0,	провести площину паралельну
10.12. Через пряму	L :	x z 3 0	провести площину паралельну
		x z 3 0

осі Ox.

Розв’язання. [3.13.1]

Запишімо рівняння жмутка площин, що проходять через пряму L :

(3x y 2z 9) (x z 3) 0; (3 )x y (2 )z (9 3 ) 0.

Площина буде паралельна осі Ox, коли 3 0 [3.4.10]. Звідки 3 .

Отже, рівняння шуканої площини:

(3x y 2z 9) 3 (x z 3) 0 y z 18 0.

10.13. Визначити двогранні кути, які утворюють площини:

P1 : 6x 3y 2z 0, P2 : x 2y 6z 12 0.

Розв’язання. [3.11.4.]

Нормальні вектори заданих площин P1			та P2
		6
		6


		3	і n
n		3	і n	2
1				2


	2

Знайдімо довжини цих векторів:

мають координати:

2 .

[2.9.4]	62 32 ( 2)2 36 9 4 49 7;
n1

n2 12 22 62 1 4 36 41.

cos( , )

P1 P2

[2.10.2]										[2.9.2]
		(n			,n					) 6 1 3 2 ( 2) 6
	1						2

			n	1				n	2			7 41
						0					0	.
											0	.
	7						41					2

10.14.Записати рівняння площини P, яка проходить через точку M0(2; 1;1)

перпендикулярно до площин

P1 : x y 5z 9 0 та P2 : 2x y 2z 1 0.

Розв’язання. [2.12.1, 3.4.6.]

Шукана площина перпендикулярна до площин P1 та P2. Отже, її нормальний вектор n перпендикулярний до їхніх нормальних векторів n1 (1;1;5)T і n2 (2;1;2)T .

[2.12.1]

Тоді n(P) [n1,n2 ]. Знайдімо його координати:

160	Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ


								i		j	k
	[		1,		2	]	1		1		5
n	[	n	1,	n	2	]	1		1		5
							2		1		2

i (2 5) j (2 10) k (1 2) 3i 8j

		3
		3




k 8			.


	1

Площину з нормальним вектором n ( 3;8; 1)T , яка проходить через точку

M0(2; 1;1) задає рівняння [3.4.6]

(r r0,n) 0 3(x 2) 8(y 1) 1(z 1) 0.

Рівняння шуканої площини

P: 3x 8y z 15 0.

10.15.Знайти віддаль від точки M0(1;2; 3) до площини 5x 3y z 14 0.

З’ясувати, в одному чи різних підпросторах щодо заданої площини розташована точка M0 і початок системи координат.

Розв’язання. [3.11.5, 3.12.2.]

			[3.11.5]		ax	0	by		0		cz	0	d
			[3.11.5]		ax		by				cz		d
				d(M0,P)

								a2 b2 c2
								a2 b2 c2
		5 1 3 2 1 ( 3) 14								5 6 3				14	10		.
		5 1 3 2 1 ( 3) 14								5 6 3				14	10

				52 ( 3)2 12
				52 ( 3)2 12									35			35
З’ясуймо знак відхилення точки M0					від площини:
	[3.12.2]			ax0 by0 cz0	d						5 6 3 14					10
(M0,P)																		0.

													35			35
			sgnd a2 b2 c2										35			35

Від’ємний знак відхилення вказує на те, що точка M0 і початок системи коор-

динат належать одному півпростору щодо заданої площини.

10.16. Знайти кут між прямими

	x	y 1	z			0,
L :				та L	3x y 5z 1
					:	0.

1	1	2	3	2	2x 3y 8z 3

Розв’язання. [3.10.1.]

Знайдімо напрямні вектори прямих:

		1												7
								i			j	k
								i			j	k


				s [n ,n			]		3 1 5
s 2			;	s [n ,n		2	]		3 1 5				14
1				2	1	2

								2		3		8
	3							2		3		8	7

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке edisk_files

#
12.05.20153.41 Mб17PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf