edisk_files / PraktykumLA+AG

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7.9. 1) 3; 2) 3 3; 3) 10 3.

7.10. 1)–2)

7.11. Не зміниться.

7.12. 1. 50 2. 2. 210.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

4.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

6. Скалярне множення векторів

121

6.17. Знайдіть прямокутні координати вектора a, якщо відомі його кути з век-

торами i , j та k і a :

1) 3 , 4 , 3 , a 4; 2) 34 , 3 , 3 , a 8.

6.18.Задано вектор a (6;7; 6)T . Знайдіть:

1) довжину вектора		;	2) координати орта		0 ;
	a			a

3)напрямні косинуси вектора a;

4)проекції вектора a на осі координат.

6.19.Знайдіть віддаль між точками A та B :

A( 1;2), B(5;10);

A(3; 2), B(3;3);

A(4; 2;3), B(4;5;2);

A( 3;1; 1), B( 1;1; 1).

6.20. Знайдіть кут між векторами:

(1;2)T ,b

(2;4)T ;

(1;2)T ,b (4;2)T ;

(1; 1; 1)T ,b

(2;0;2)T ;

(1;3;1)T ,b

( 2;3;0)T .

6.21.Знайдіть довжини сторін і кути трикутника з вершинами A( 1; 2; 4),

B( 4; 2;0) та C(3; 2;1).

6.22.1. Який кут утворюють одиничні вектори s та t , якщо відомо, що век-

тори p s 2t та q 5s 4t — ортогональні?

2. Знайдіть таке число ,
2. Знайдіть таке число ,	щоб вектори a	i 5j 6k і

b 2i j k були ортогональні.

6.23.Обчисліть роботу, яку виконує сила F (4;5;2), коли точка, до якої во-

на прикладена, рухаючись прямолінійно, перемістилась з положення

A(3; 7;1) у положення B(6; 1; 2).

6.24.Знайдіть вектор x, якщо: x a (1;1;1)T , (x,a ) 3.

6.25. 1.

Знайдіть

вектор

завдовжки

15,

колінеарний

векторові

, що утворює з ортом

гострий кут.

Знайдіть

вектор

завдовжки

50,

колінеарний

векторові

, що утворює з ортом k гострий кут.

122	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

6.26.Знайдіть ненульовий вектор, колінеарний бісектрисі кута A трикутника

ABC, якщо AB (4;0;3)T , AC (1;2;2)T .

6.27.Знайдіть вектор x, напрямлений уздовж бісектриси кута між векторами a 7i 4j 4k і b 2i j 2k , якщо x 56.

Відповіді

6.9. 1) 20; 2) 0; 3) 40; 4) 40.																						6.10. 1) 5; 2) 4; 3) 39;

6.11. 1) 15,					593; 2)			7,		13.												6.12. Не зміниться.
6.13. 2 .																						6.14.				1 .
3					3 .																					2
6.15.					3 .
					5															11 ;						22 ;
6.16. 1) 22; 2) 200; 3) 41; 4)																			5)				6)
6.16. 1) 22; 2) 200; 3) 41; 4)																	105;		5)				6)
																				3						7
7) cos 2					, cos					1	,		cos 2							; 8)							84	; 9)			11 .
7) cos 2					, cos						,		cos 2							; 8)								; 9)			11 .
3										3								3								129					21
6.17. 1) (2; 2
6.17. 1) (2; 2						2; 2)T ; 2) ( 4							2; 4; 4)T .
														6

															11
															11				cos


										0				7
6.18. 1)				11; 2)–3) a						0				7										; 4) pr					a 6, pr a
6.18. 1)		a		11; 2)–3) a														cos						; 4) pr					a 6, pr a
															11												i							j
																6
																6
																			cos

																11
																11
6.19. 1) 10; 2) 5; 3) 5
6.19. 1) 10; 2) 5; 3) 5									2; 4) 2.
6.20. 1) 0; 2)						arccos 4		; 3)				;		4) arccos							7		.
6.20. 1) 0; 2)						arccos 4		; 3)			2	;		4) arccos									.
					5						2									143
																					ˆ						ˆ			ˆ
																					ˆ						ˆ			ˆ
6.21.	AB		5,				BC	5			2,			AC				5,		A					2	, B C						4	.
																									2							4	.

4) 51.

7, prk a 6.

6.22. 1.		. 2.		1	.
	3		2

6.24.x 1;1;1 T .

6.25.1. x 5i 10j 10k .

6.26.17i 10j 19k ..

6.23.36.

2.x 24i 32j 30k .

6.27.53 (i 7j 2k ).

7. Векторне множення векторів

123

7. Векторне множення векторів

Навчальні задачі

7.1.Спростити вираз [a b,a b ].

Розв’язання. [2.12.2-2.12.4.]

[2.12.4]

[2.12.2] 

[

b ]

] [a

,b ] [b ,a

] [b ,b ]

2[a

,b ].

Коментар. Векторний добуток антикомутативний і [a,a ] 0.

7.2.Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах


b 3p 2q , якщо відомо, що					p	3,	q			4, (p,q )

Розв’язання. [2.13.1.]

a 2p q та

3 .

[2.13.1]

[2.12.4,2.12.3]

[

]

[2p

, 3p 2

]

[2.12.2]

6[p, p] 3[

, p] 4[p,

] 2[

]

] 4[p,

]

3[p,q

[2.12.1]

[p, q ]

sin(p, q ) 7 3 4 sin

3 42

7.3.

Знайдіть

векторний

добуток

вектора

на вектор

3k .

Розв’язання. [2.12.6.]

[Записуємо координати векторів

та

[2.12.6]

[1.6.2]

[

,b ]

3 1

5k .

1 3

1 1

(2; 3; 1)T

(1; 1; 3)T ,

7.4.

Вектор

ортогональний до векторів

та b

утворює з вектором

тупий кут. Знаючи, що

138, знайти коор-

динати вектора x.

Розв’язання. [2.12.1.]

Оскільки ненульовий вектор x ортогональний до ненульових векторів a та b,

[2.5.5]

то він колінеарний їх векторному добутку x [a,b ].

124	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

[Векторний добуток векторів

знайдено в зад. 7.3.]

на вектор b

[8.2.5]

[

] 8

x [a,b ] 8 i 7 j 5 k

7 .

[Обчислюємо довжину вектора

[2.9.4]

138 2

138

[Справджуємо умову задачі про довжину вектора.]

138 138 1,2 1 x1,2

[Справджуємо умову задачі про напрямок вектора.]

Оскільки вектор x утворює тупий кут з вектором i ,

	8
	8


	7
	7	.


5

то cos(x, i ) 0, і шука-

ним є вектор з від’ємною першою координатою. Шуканий вектор x ( 8; 7; 5)T .

7.5.На векторах a 2i 2j 3k та b 4i 6k побудовано трикутник.

Знайти його площу й висоту опущену на сторону, що збігається з вектором a.

Розв’язання. [2.13.1, 2.13.2.]

[2.13.1]

[2.13.2]

[a,b ]

,b ]

;

[Знаходимо векторний добуток вектора a на вектор b .]


		a				[2.12.6]			i			j	k		[1.6.2]
									2 2 3
				,b					2 2 3
								4		0			6
								4		0			6
	2 3				2	3					2		2
	2 3				2	3					2		2
i	0 6		j		4	6	k				4		0	12		i	24	j	8k .

[Обчислюємо довжину вектора [a,b ].]

[2.9.4]

[a,b ] ( 12)2 ( 24)2 82 28.

S 12 28 14.

7. Векторне множення векторів

125

[Обчислюємо довжину вектора a .]

a 22 ( 2)2 ( 3)2 13.

ha 28 . 13

7.6.Знайти об’єм і висоту, опущену на основу, утворену векторами a та b, паралелепіпеда, побудованого на векторах

Розв’язання. [2.15.1, 2.15.2, 2.14.1.]

[2.15.1]

[2.15.2]

)

(

)

, h

пар

[a,b ]

[2.12.6]

[1.6.2]

[

]

1 1 1

9 5

1 1

5 6

9 6

9 5

4k .

[2.9.4]

( 1)2 ( 3)2 ( 4)2

[

]

26.

[Обчислюємо мішаний добуток за означенням.]

[2.14.1]

) ([a

)

[2.9.2]

(

, 11

)

28.

15k

28;

пар

7.7. З’ясувати, для яких значень параметра

вектори

k ,

k :

1) компланарні; 2) утворюють праву трійку; 3) утворюють ліву трійку.

Розв’язання. [2.15.3, 2.15.4.]

[Обчислюємо мішаний добуток векторів a,b ,c .]

126	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

				[2.14.6]	2	5	7	[1.6.2]	1	1		1	1		1 1
				[2.14.6]	2	5	7	[1.6.2]
(a							1	2			5			7
	,b ,		)		1	1
	,b ,	c	)		1	1			2			1			1 2
					1	2
					1	2

2( 2) 5( 1) 7 6 3 .

Вектори a, b , c компланарні, якщо

6 3 0 2.

Вектори a, b , c утворюють праву трійку, якщо

6 3 0 2.

Вектори a, b , c утворюють ліву трійку, якщо

6 3 0 2.

7.8.
7.8.	Силу F									i		2		j	4k						прикладено до точки A(1; 2; 3). Знайти момент
	цієї сили щодо точки O(3; 2; 1).
Розв’язання. [2.13.4.]
																							[2.13.4]
																																		].
																			M		O (F		) [OA, F											].
Знайдімо вектор
																						1	3										2
																						1	3										2



																						2	2										0
																OA						2	2										0		.


																					3		( 1)								4


																				[2.12.6]					i		j		k
																			]					2 0					4			8					12
						M	O(F				) [OA, F								]					2 0					4			8				i	12	j	4k		.
																								1		2			4

Задачі для аудиторної і домашньої роботи
7.9.	Задано:								1,								2												2				. Обчисліть:
																													2
							a1						a2								та (a1,a2 )								3
	1)		[					;

				a1,a2 ]
	2)	[2																										3)		[

					a1 a2,a1 2a2 ]													;														a1 3a2, 3a1 a2 ]								.

7.10.Яку умову мають справджувати вектори a1 та a2, щоб були колінеарни-

ми вектори:

a2 та

2) 3

2 та

a1 3

7.11.Чи зміниться векторний добуток, якщо до одного із множників додати вектор, колінеарний другому множнику?

7. Векторне множення векторів

127

7.12.

Обчисліть площу трикутника, побудованого на векторах p

та q 3a 2b , якщо

5, (a,b )

4 .

Обчисліть

площу

паралелограма, побудованого на

векторах

p 6a 3b та q

3a 2b , якщо

(a,b )

6 .

Задано:

7.13.

5,(a,b )

6 . Виразіть через вектори a

та b оди-

ничний вектор

ортогональний до векторів

та b

і такий, що:

1) трійка

— права;

2) трійка

— ліва.

7.14.Задано вектори a1 (3; 1;2)T та a2 (1;2; 1)T . Знайдіть координати векторів:

1) [a1,

2 ];

2) [2

2,a2 ];

3) [2

2, 2

2 ].

7.15. Обчисліть площу трикутника

з вершинами A(1;1;1), B(2;3; 4) та

C(4;3;2).

7.16.1. У трикутнику з вершинами A(1; 1;2), B(5; 6;2) та C(1;3; 1) знай-

діть висоту h BD .

2. Знаючи вектори AB 3i 2j 6k та BC 2i 4j 4k

знайдіть довжину висоти AD трикутника ABC.

7.17. Знайдіть, для яких значень і вектор i 3j k буде колінеарний векторові [a;b ], якщо a (3; 1;1)T , b (1;2;0)T .

7.18.Знайдіть координати вектора x, якщо він ортогональний до векторів a1 (4; 2; 3)T та a2 (0;1;3)T , утворює з ортом j тупий кут і

x26.

7.19.Знайдіть координати вектора x, якщо він ортогональний до векторів

a1 (2; 3;1)T та a2 (1; 2;3)T і також справджує умову

(x, i 2j 7k ) 10.

7.20.Сила F 2i 4j 5k прикладена до точки A(4; 2;3). Знайдіть момент цієї сили щодо точки O(3;2; 1).

128	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

7.21. Вектори a1,a2,a3 утворюють праву трійку, взаємно перпендикулярні та

3. Обчисліть (

a1,a2,a3 ).

7.22.

Одиничні вектори a,b ,c

утворюють ліву трійку; та (a,b )

;

c a,

cb . Обчисліть (a,b,c ).

7.23.Чому дорівнює: 1) ([i , j ], k ); 2) (a,b,a)?

7.24.Нехай вектори a,b ,c утворюють праву трійку. Яку трійку утворюють вектори:

1) b ,a,c; 2) b ,c,a; 3) c,b ,a ?

7.25.Встановіть, якою (правою чи лівою) є трійка a,b ,c, якщо:

		1			2			1				1			2			1




												2
1) a 1			,b	1		,c	2		;	2) a			,b	1		,c	1		.


	2			1			2				1			1			2

7.26.Задано вектори a1 (1; 1;3)T , a2 ( 2;2;1)T та a3 (3; 2;5)T . Об-

числіть (a1,a2,a3 ). Яка орієнтація трійок: 1) a1,a2,a3; 2) a2,a1,a3; 3) a3,a1,a2 ?

7.27.Встановіть, чи компланарні вектори a,b ,c, якщо:


			3			1				1												3			1			3
			3			1				1												3			1			3



			2			1				9															2
1)a			2	,b		1		,c		9		;							2) a 1				,b		2	,c	4		.


		2			3				11												1			3			7

7.28. Для якого значення вектори														,			,			будуть компланарні?
															b
											a				b			c
1)							(5; 1;2)T ,									( 1;5; 4)T ;
		( ;3;1)T ,b
	a	( ;3;1)T ,b											c

2) a (1;2 ;1)T ,b (1; ;0)T , c (0; ;1)T .

7.29.З’ясуйте лінійну залежність (незалежність) векторів a,b ,c, якщо:

		1			4			7				2			1			2




		2			5			8							2			2
1) a			,b			,c			;	2) a 1			,b			,c			.


	3			6			9				2			2			1

7. Векторне множення векторів

129

7.30.З’ясуйте, чи лежать в одній площині точки:

1)A(3;3;2), B(7;1;5),C(1;1;2) та D(3; 1;4);

2)A(2; 3; 1),B(1;2;5), C(0; 3;1) та D(3;2; 3).

7.31.Знайдіть об’єм паралелепіпеда, побудованого на заданих векторах:

1) a 3i 4j ,b k 3j ,c 2j 5k ;

2) a 2i j 3k ,b 3i j 2k , c i 3j k .

7.32. Знайдіть висоту h DE тетраедра з вершинами в точках:

1)A(1;1;1), B(2;0;2),C(2;2;2) та D(3;4; 3);

2)A(1;2;1), B(3;0; 2),C(5;2;7) та D( 6; 5;8).

Відповіді

7.13.1) 15 [a,b ]; 2) 15 [a;b ].

7.14.1) ( 3;5;7)T ; 2) ( 6;10;14)T ; 3) ( 12;20;28)T .

7.15. 2		7.16. 1.	5. 2.			8		5 .
	6.
						3
7.17. 6, 21.		7.18. ( 6; 24; 8)T .
7.19. (7;5;1)T .		7.20. 4			3
				i			j	4k	.
7.21. 24.		7.22.	1 .
			2
7.23. 1)	1; 2) 0.	7.24. 1) ліва; 2) права; 3) ліва.
7.25. 1)	правою; 2) лівою.	7.26. 1) ліва; 2) права; 3) ліва.
7.27. 1)	так; 2) так.	7.28. 1) 3; 2) за будь-якого .

7.29.1) лінійно залежні; 2) лінійно незалежні.

7.30.1) так; 2) ні.

7.31. 1) 51; 2) 13.

7.32. 1) 3

2; 2) 11.

130	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

8. Комплексні числа

Навчальні задачі

8.1. Знайти z

, z z

, z

якщо z

4 5i,

3 2i.

1 2

Розв’язання. [2.17.3–2.17.7.]

[2.17.3]

z1 z2

7 3i;

z1 z2

1 7i;

[2.17.4]

z1z2

(4 5i)(3 2i) 12 15i 8i 10

22 7i;

[2.17.7]

4 5i

3 2i

[2.17.4]

12 15i 8i 10

23 i.

3 2i 3 2i

9 4

13 13

8.2.Знайти дійсні розв’язки рівняння (2x y) (x 3y)i 3 i.

Розв’язання. [2.17.2.]

2x y 3,

(2x y) (x 3y)i 3 i

3y 1

8.3.1.

Зобразити у тригонометричній та показниковій формі число z 1 i.

Розв’язання. [2.19.1.]

Число записано в алгебричній формі:

z x iy 1 i.

Re z x 1 0, Im z y 1 0;

число розташоване у 2-й чверті

[2.19.3]

( 1)2 12 2;

[2.19.4]

arctg( 1) 3 ;

arg z

[2.19.1]

i 3 4

i sin

2 cos

8.3.2.

Зобразити у

тригонометричній

та

показниковій

формі число

z 1 cos 2 i sin 2.

Розв’язання.

Re z 1 cos 2 0, Im z sin 2 0.

число розташовано у 1-й чверті

[2.19.3]
z	(1 cos 2)2 sin2 2	2 2 cos 2	4 cos2 1 2 cos 1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке edisk_files

#
12.05.20153.41 Mб17PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf