Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

edisk_files / PraktykumLA+AG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

4.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.8. Скалярний добуток векторів

Скалярне множення. Скалярним добутком двох векторів a та b називають число, що дорівнює добуткові довжин цих векторів на косинус кута між ними і позначають

(a,b ).*

Якщо хоча б один з векторів нульовий, то скалярний добуток вважають рівним нулеві.

(a,b )

cos(a,b )

(a,b ) a pra b b prb a

Ортогональність векторів. Вектори

та

називають ортогональними,

якщо їх скалярний добуток дорівнює нулеві і позначають

Вектори ортогональні, якщо хоча б

один з векторів нульовий або вони

перпендикулярні.

Нульовий вектор вважають

перпендикулярним до будь-якого

вектора.

Властивості скалярного добутку

комутативність скалярного

(

) (b ,

)

множення

однорідність скалярного множення

(

) (

)

, b

дистрибутивність скалярного

b ,

) (

) (b ,

множення

(a,b c ) (a,b ) (a,c )

додатно-визначеність скалярного

(a,a )

добутку

) 0

* Ще використовують позначення a b .
Найважливішими властивостями скалярного добутку є:	(a,b ) (b ,a ),(a,a ) a 2 .

32 Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.9. Ортонормований базис

Ортонормованість базису. Базис

називають ортонормованим, якщо

 i

, j

його вектори попарно ортогональні і

;

мають одиничну довжину.

{i ,j ,k }



;



Скалярний добуток векторів

azk

(

) a b a b a b

x x

z z

bzk

в ортонормованому базисі

Таблиця скалярного множення

(,)

Довжина вектора

)2 (a

)2 (a )2

Зв’язок між координатами і

проекціями вектора. Координати

вектора в ортонормованому базисі

дорівнюють проекціям вектора на

координатні осі.

prk a az

Напрямні косинуси. Напрямними

cos

, cos

косинуси вектора

називають

косинуси кутів вектора

з векторами

базису.

Координати орта вектора

cos

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.10. Застосування скалярного добутку

Довжина вектора

(a,a )

Кут

(

,b )

cos(a,b )

між ненульовими векторами a та b

arccos

,b )

(a,b )

Проекція вектора

)

на напрям вектора a

Критерій перпендикулярності.

(

,b ) 0 (

,b )

Скалярний добуток векторів дорівнює

нулеві тоді й лише тоді, коли вектори

axbx ayby

azbz 0

перпендикулярні.

Робота сили F

під час

переміщення s

s BC

cos

)

2.11. Орієнтація

Орієнтація на площині. Базис

{e1,e2} задає додатну (від’ємну)

орієнтацію площини, якщо найкоротший перехід від вектора e1 до вектора e2, відбувається проти руху годинникової стрілки.

			e1 
e2
e2


	e1
	e1			e
			2

Права і ліва трійка. Трійку некомпланарних векторів {e1,e2,e3}

називають правою (лівою), якщо найкоротший перехід від вектора e1 до вектора e2, відбувається проти руху

(за рухом) годинникової стрілки, коли дивитись на них з кінця вектора e3.

Базис {e1,e2,e3}, вектори якого утворюють праву трійку, задає додатну

орієнтацією простору.

34	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.12. Векторний добуток

Векторне множення. Векторним добутком вектора a на b називають вектор c, який:

1)перпендикулярний до векторів a та b;

2)завдовжки дорівнює добутку довжин векторів на синус кута між ними;

3)напрямлений так, що вектори a,b та c утворюють праву трійку.

Позначають c [a,b ].

sin(a,b )

Векторний добуток колінеарних векторів вважають рівним нульовому векторові.

Властивості векторного добутку :

антикомутативність векторного

[

] [b

]

добутку

однорідність векторного добутку

[

]

, b

] [a

дистрибутивність векторного

[

] [

] [b

добутку

[a,b c ] [a,b ]

[a,c ]

Таблиця векторного множення

[, ]

(першим вибирають рядок)

Векторний добуток векторів

azk

[

]

b bx

bzk

в ортонормованому базисі.

Ще використовують позначення a b .

Найважливішими властивостями векторного добутку є: a,b ] [b ,a ], [a,a ] 0

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.13. Застосування векторного добутку

Площа паралелограма

(трикутника), побудованого на

[

,b ]

;

векторах

та

[a,b ]

Висота паралелограма

[a,b ]

(трикутника), опущена на сторону a

Критерій колінеарності векторів

a b

[a,b ] 0

та b .

Два вектори

та b колінеарні тоді й

лише тоді, коли їхній векторний

добуток є нульовим вектором.

Момент M

сили F

щодо точки O

MO (F ) [OA, F ]

36 Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.14. Мішаний добуток

Векторно-скалярне множення.

Мішаним добутком векторів

та

([a,b ],c ) (a,b ,c ).

називають число — скалярний добуток

векторного добутку векторів

та

на вектор

і позначають (

Властивості мішаного добутку:

у мішаному добутку знаки

([

) (

,[b ,

])

векторного та скалярного добутків

можна міняти місцями

циклічне переставляння

([

) ([

],b

) ([b

)

співмножників не змінює мішаного

добутку

переставляння двох співмножників

)

) (b

змінює знак мішаного добутку

(c,b,a) (a,c,b )

мішаний добуток лінійний за будь-

( a1

)

a2,b,

яким множником

(a1,b,c ) (a2,b,c )

Мішаний добуток векторів

ax i ay j azk ,

(a,b ,c )

b bxi by j bzk ,

cxi cy j czk

в ортонормованому базисі

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА					37
2.15 Застосування мішаного добутку
Об’єм паралелепіпеда (тетраедра)	Vпар		(a,b ,c ) ,
побудованого на векторах a,b ,c	Vпар		(a,b ,c ) ,
побудованого на векторах a,b ,c				1
	Vтетр			1	(a,b ,c )
				6
Висота паралелепіпеда (тетраедра),					(a,b ,c )
побудованого на векторах a,b ,c, на	h pr			c	(a,b ,c )
основу, яку утворюють вектори a та b		[a,b ]			[a,b ]
					[a,b ]

	[a,b ]
	c
		h	b
			a
Взаємне розташування векторів
a,b та c .
 Якщо (a,b ,c ) 0, то вектори	(a,b,c ) 0	a,b,c права трійка;
a,b ,c утворюють праву трійку.	(a,b,c ) 0	a,b,c ліва трійка
 Якщо (a,b,c) 0, то вектори
a,b ,c утворюють ліву трійку.
Критерій компланарності	a,b ,c компланарні
векторів a,b та c .	a,b ,c компланарні
векторів a,b та c .	(a,b ,c ) 0
Вектори a,b ,c компланарні тоді й	(a,b ,c ) 0
Вектори a,b ,c компланарні тоді й	ax		ay		az
лише тоді, коли (a,b ,c ) 0.	ax		ay		az
лише тоді, коли (a,b ,c ) 0.	bx		by		bz 0
	bx		by		bz 0
	cx		cy		cz

38 Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.16. Комплексні числа

Комплексне число. Комплексним	Комплексне число																y									z
числом z називають упорядковану	z зображують																y								M
пару дійсних чисел x та y.	точкою M(x;y)																y
пару дійсних чисел x та y.	точкою M(x;y)
x — дійсна частина, x Re z	або радіусом-
x — дійсна частина, x Re z
y — уявна частина, y Im z	вектором OM.																O								x		x

Рівність комплексних чисел																	x				x ,
Рівність комплексних чисел																				1			2
							z1	z2												1			2
							z1	z2													y2
																	y1				y2


Сума (різниця) комплексних чисел										x		1				x						x		1	x	2
		z		z								1						2						1		2
		z	1	z		2
			1			2																			y
										y		1				y						y		1	y	2
												1						2						1		2

Добуток комплексних чисел							x						x		2					x x			y y
		z z							1						2						1 2				1 2
		z z
			1 2																				x y
							y						y		2					x y			x y
								1							2						1 2				2 1

Виділені комплексні числа																								0
					0					0							1							0
					0						,1								,i

										0							0						1


	x													2					1
				x,x						; i				2								1
				x,x						; i												1

	0																0


Множина комплексних чисел.	Правдиві включення:
Множину всіх комплексних чисел з
означеними рівністю, додаванням і
означеними рівністю, додаванням і
множенням називають множиною
комплексних чисел і позначають .

Дійна та уявна частини комплексного числа дійсні числа.

Поняття «більше» та «менше» для комплексних чисел не означують.

Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.17. Дії над комплексними числами в алгебричній формі

Алгебрична форма

z x iy

комплексного числа

x Rez, y

Imz, i2 1

Рівність комплексних чисел

Сума (різниця) комплексних чисел

(x1

x2 ) i(y1

y2 )

Добуток комплексних чисел

z1z2

(x1x2 y1y2 ) i(x1y2

x2y1)

Натуральний степінь

z z z

комплексного числа

i1 i, i2 1, i3 i, i4 1

Спряжене до комплексного числа

x iy

Частка комплексних чисел

z1z2

z z

x1x2 y1y2 i y1x2 x1y2

x2 y2

2 y2

Арифметичні дії над комплексними числами можна проводити як з алгебричними виразами, враховуючи, що i2 1.

40	Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.18. Полярна система координат

Полярна система координат.

Полярну систему координат задає:

1) точка O — полюс;

2) промінь, орієнтований одиничним

вектором i ,— полярна вісь;

Полярні координати:

3) додатний напрям відліку кутів

— полярний радіус;

(проти годинникової стрілки).

— полярний кут.

0; 0 2k ,

,k ,— головне

значення полярного кута

Зв’язок між декартовими

x cos ,

;

координатами (x,y) і полярними

y sin ,

координатами ( , )

cos

sin

Головне значення

полярного

y 0,

кута

arccos

x2 y2

y 0

arccos

0,y 0,

arctg

x 0,y 0,

arctg

x 0,

x 0,y 0,

x 0,y 0

arctg

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке edisk_files

#
12.05.20153.41 Mб17PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf