Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

edisk_files / PraktykumLA+AG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

4.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.9. Взаємне розташування прямих на площині

Прямі L1(M1;s1) і L2(M2;s2 ):

перетинні

перпендикулярні

паралельні (різні)

s1 s2

M1M2

M 1

збіжні

s1 s2

M1M2

Прямі L1 : a1x b1y c1

0 та L2 : a2x b2y c2

0 :

перетинні

перпендикулярні

паралельні (різні)

збіжні

Прямі L1 : y k1x b1 і L2 : y k2x b2 :

перетинні

перпендикулярні

k1k2

паралельні (різні)

k1 k2,b1

збіжні

k1 k2,b1

52 Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.10. Кути між лінійними об’єктами

Кут між прямими L (M

;

) та

L (M

)

(s1,

s2 )

cos(L1,L2 ) cos(s1, s2 )

Кут між прямими L1

та

на площині

(

2 )

cos(L1,L2 )

cos(n1,n2 )

Кут між прямими L1

: y k1x b1

L2 L1

та L2 : y k2x b2 на площині

tg(L1, L2 )

1 k1k2

Кут між площинами P

та

(

1 ,

2 )

cos(P1, P2 )

cos(n1,n2 )

Кут між прямою L s і площиною

(

)

sin(L,P)

cos(n,s )

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.11. Віддалі між лінійними об’єктами

Віддаль від точки M0 до прямої

L(M ;s )

d(M0,L)

[M M0,s ]

Віддаль між паралельними

прямими L1(M1;

s1) та L2(M2;s2 )

(віддаль від точки однієї прямої до

іншої прямої)

[M1M2,

d(L1,L2 )

s1 ]

Віддаль між мимобіжними

прямими L1(M1;

s1) та L2(M2;s2 )

s2 h

N 1

M11

(M1M2,[

d(L1,L2 )

s1, s2 ])

[s1, s2 ]

Віддаль від точки M0 до прямої

L : ax by c 0 на площині Oxy

d(M0, L)

0 by0 c

a2 b2

Віддаль від точки M0 до площини

P : ax by cz d 0

Віддалю між паралельними

площинами називають віддаль від

ax0 by0 cz0 d

будь-якої точки однієї площини до

d(M0, P)

іншої площини.

a2 b2 c2

54 Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.12. Відхилення точки від площини (прямої на площині))

Відхилення точки M0

від площини

(M0, P)

P : x cos y cos z cos p 0

x0 cos y0 cos z0 cos p

d(M0, P)

(M0, P)

Відхилення точки M0

від площини

(M0, P)

ax0 by0 cz0

P : ax by cz d 0

sgn d a2 b2

Відхилення точки M0

від прямої

P : x cos y sin p 0 на

(M0, L) x0 cos y0 sin p

площині Oxy

Відхилення точки M0

від прямої

, L)

ax0 by0 c

P : x cos y sin p 0 на

sgn c a2 b2

площині Oxy

3.13. Жмуток площин

Рівняння жмутка площин,					L P3
які проходять через пряму L
				0,
a x b y c z d				0,
1	1	1	1
				0
a x b y c z d				0
	2	2	2
2	2	2	2		P1
					P2
					(a1x b1y c1z d1)
					(a2x b2y c2z d2) 0

					a1x b1y c1z d1
					(a2x b2y c2z d2) 0
					( 0)

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.14. Еліпс

Канонічне рівняння еліпса у ПДСК

1,a b 0

Параметричні рівняння еліпса

a cost,

t [0, 2 )

b sin t,

Рівняння еліпса у полярній системі

координат

cos

Фокальна властивість еліпса.

Еліпс є множиною точок, сума

віддалей яких від фокусів стала і

більша за віддаль між фокусами.

r1 r2 2a 2c

a F1 O

a a x

Фокально-директоріальна

властивість еліпса.

r2 1

Оптична властивість еліпса.

Якщо помістити в один з фокусів

еліпса точкове джерело світла, то всі

промені після відбиття від еліпса

зійдуться в іншому його фокусі.

Характеристики еліпса:

—

фокальний параметр;

a — велика піввісь;

p a

b — мала піввісь;

точки F1,2( c; 0) — фокуси;

a2 b2 ;

прямі x a

, 0

— директрис;

2c — фокусна віддаль;

— ексцентриситет

r1,2 a x — фокальні радіуси

(0 1);

Коло

x2 y2

56 Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.15. Парабола

Канонічне рівняння параболи у

y2 2px, p 0

ПДСК

Рівняння параболи в полярній

системі координат

1 cos

O p

Фокально-директоріальна

властивість параболи.

Парабола є множиною точок, які

рівновіддалені від фокуса і

p x

директриси.

Оптична властивість параболи.

Якщо помістити у фокус параболи

точкове джерело світла, то всі промені,

відбиті від параболи, спрямуються

паралельно фокальній осі параболи

Характеристики параболи:

пряма x p — директриса;

p — фокальний параметр;

1 — ексцентриситет;

2 — фокусна віддаль;

r x p — фокальний радіус.

вісь абсцис — фокальна вісь;

точка A(0; 0) — вершина ;

точка

; 0 — фокус;

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.16. Гіпербола

Канонічне рівняння гіперболи

1,a,b 0

у ПДСК



Параметричні

рівняння гіперболи

a ch t,

b sh t,t

Рівняння гіперболи в полярній

системі координат

, 1

1 cos

Фокальна властивість гіперболи.

Гіпербола є множиною точок, модуль

різниці віддалей яких від фокусів є

сталою величиною, меншою за віддаль

між фокусами.

F2 x

r1 r2

2a 2c

x a

Фокально-директоріальна

x a

властивість еліпса.

r1 r2 1

Оптична властивість гіперболи.

Якщо помістити в один з фокусів

гіперболи точкове джерело світла, то

кожний промінь після відбиття від

гіперболи начебто виходить з іншого

фокуса

Характеристики гіперболи:

— фокальний параметр;

a — дійсна піввісь;

p a

b — уявна піввісь;

точки F1,2( c; 0) — фокуси;

a2 b2 ;

прямі x a — директриси.

2c — фокусна віддаль;

c — ексцентриситет ( 1);

58	Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.17. Еліпс, парабола, гіпербола

внеканонічних системах координат

Еліпс

y y

(повертання).

(паралельне

y0 O

перенесення)

x x

1,a b

1,a

b 0,

Парабола

y2 2px

(повертання,	x	2	2py	(паралельне
переорієнтуван				(паралельне
переорієнтуван	O		x	перенесення)	y0
ня осей)				перенесення)	y0
ня осей)					O	x
	x2	2py			O	x
						x0
					O	x

y2 2px, x2 2py,

(y y0)2 2p(x x0), p 0,

x2 2py, p 0,

Гіпербола

(повертання

(паралельне

осей)

a x

перенесення)

1,b,a 0,

(x x0)2

(y y0)2

1,a,b 0,

Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.18. Лінії 2-го порядку. Інваріанти

Загальне рівняння лінії

a11x

2a12xy a22y

(геометричного образу) 2-го порядку в

2a13x

2a23y a33

ПДСК

Інваріанти рівняння лінії 2-го порядку

J1 a11 a22, J2

a11

a12

a11

a12

a13

a21

a22

a21

a22

a23

a31

a32

a33

a21 a12,a31 a13,a32

a23

Лінія, що має алгебричне рівняння n -го степеня у ПДСК, у будь-якій іншій ПДСК має також алгебричне рівняння n -го степеня.

3.19. Власні числа і власні вектори матриці

Характеристичний многочлен

A En

матриці A

a11

a12

a1n

...

a12

a22

...

a2n

...

an1

an2

...

ann

Характеристичне рівняння

A En

матриці A

Власний вектор і власне число

 Власні числа матриці є коренями

матриці. Ненульовий стовпець x

характеристичного многочлена

називають власним вектором

A En

цієї матриці.

квадратної матриці An n , якщо існує

 Власні вектори є ненульовими

таке число , що Ax x .

розв’язками однорідної СЛАР

Число називають власним числом

(A En )x 0.

матриці A, що відповідає власному

векторові x.

Теорема Гамільтона — Келі

Будь-яка матриця є коренем свого

характеристичного рівняння.

60 Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.20. Класифікації ліній 2-го порядку

Еліптичний тип	J3	0	еліпс		y
Еліптичний тип	J3	0	еліпс
J2 0					O	x
					O	x

	J3	0 уявний еліпс

	J3	0 точка

Гіперболічний тип	J3	0	гіпербола		y
Гіперболічний тип	J3	0	гіпербола
J2 0
				a	O	a x

	J3	0	пара перетинних прямих

Параболічний тип	J3	0	парабола	y
Параболічний тип	J3	0	парабола
J2 0
				O	x

J3 0 :

(a31)2 a11a33 0 — пара паралельних прямих;

(a31)2 a11a33 0 — пара збіжних прямих;

(a31)2 a11a33 0 — пара уявних паралельних прямих (порожня множина).

Еліпс, парабола, гіпербола — криві 2-го порядку.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке edisk_files

#
12.05.20153.41 Mб17PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf