Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

edisk_files / PraktykumLA+AG

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

4.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.7. Формули і схеми обчислення визначників

Обчислення визначника 2-го

Схема обчислення визначника

порядку. Визначник матриці 2-го

2-го порядку

порядку обчислюють за формулою

a11

a12

a11a22

a12a21.

ad bc

a21

a22

Обчислення визначника 3-го

Схема Сарюса обчислення

порядку. Визначник матриці 3-го

визначника 3-го порядку*

порядку обчислюють за формулою

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

a22

a23

a21 a23

(aei bfg cdh) (ceg afh bdi)

a21

a22

Схема трикутників






Для кожної квадратної матриці A		Для кожної квадратної матриці A
n -го порядку при довільному номері i		n -го порядку при довільному номері
(1 i n) правдива формула, яку		j (1 j n) правдива формула, яку
називають розкладом визначника за i -		називають розкладом визначника за j -
м рядком:		м стовпцем:
n	n		n		n
detA ( 1)i kaikMik	aikAik	detA ( 1)k jakjMkj		akjAkj
k 1	k 1		k 1		k 1

* Простих схем для визначників порядку 4 і вище не існує.

12 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.8. Властивості визначника

(рівноправність рядків та

(умови рівності нулеві

стовпців). Транспонування матриці не

визначника). Визначник матриці

міняє її визначника.

дорівнює нулеві, якщо матриця

detA detAT ;

містить пропорційні стовпці (рядки) :

a11

a12

a11

a12

a11

a12

a11

a21

a22

a12

a22

a11

a12

(лінійність). Якщо стовпець

(теорема анулювання). Сума

(рядок) визначника є сумою двох

добутків елементів стовпця (рядка)

стовпців (рядків), то визначник

визначника на алгебричні доповнення

дорівнює сумі двох відповідних

відповідних елементів іншого стовпця

визначників.

(рядка) дорівнює нулеві.

a A a A 0

21 22

a21

a22

b22

a11

a12

a11

b12

(однорідність). Спільний множник

Визначник не зміниться, якщо до

стовпця (рядка) можна виносити за

будь-якого стовпця (рядка) додати

знак визначника.

інший стовпець (рядок), помножений

a11

ka12

a11

a12

;

на деяке число k.

a11

a12

a11

a12

a21

ka22

a21

a22

det(kA ) kn detA

(антисиметричність). Якщо

Визначник добутку двох квадратних

переставити два стовпці (рядки)

матриць дорівнює добуткові

визначника, то він поміняє знак.

визначників цих матриць.

a11

a12

a11

Визначник матриці дорівнює нулеві, якщо матриця містить:

1) нульовий стовпець (рядок); 2) два рівні стовпці (рядки).

a11A11 a21A21 detA

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.9. Обчислення визначника методом Ґауса (за допомогою елементарних перетворень)

Елементарні перетворення

Дія елементарних перетворень

матриці. Елементарними

матриці на її визначник:

перетвореннями матриці називають:

1) переставлення стовпців (рядків)

1) переставляння стовпців (рядків);

змінює знак визначника;

2) множення стовпця (рядка) на число,

2) помноження стовпця (рядка) на

відмінне від нуля;

число відмінне від нуля, помножує

3) додавання до стовпця (рядка)

визначник на це число;

іншого стовпця (рядка), помноженого

3) додавання до стовпця (рядка)

на деяке число.

іншого стовпця (рядка), помноженого

Матриці A та B називають

на деяке число не змінює визначника.

еквівалентними, якщо одна з них

одержана з іншої скінченною

кількістю елементарних перетворень, і

позначають A B.

Визначник верхньої (нижньої)

a11

a12 a1n

трикутної матриці дорівнює добуткові

a22

a2n

діагональних елементів.

a a

...a

11 22

ann

Визначник одиничної матриці

дорівнює 1.

Крок методу Ґауса.

a11

a12 ...

a1n

...

as1

detA

a ,s

2,n

... ... ...

...

a11

an1

an2 ...

ann

a11

a12 ...

a1n

a11

...

... ... ...

...

n 1

bn2 ...

bnn

Крок методу повторюється для визначника n 1

і так далі.

14 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.10. Обернення матриць

Невироджена матриця. Квадратну

Обернена матриця. Оберненою

матрицю називають невиродженою,

матрицею до квадратної матриці A

якщо її визначник відмінний від нуля.

порядку n називають матрицю A 1

таку, що

A 1A AA 1 En.

Властивості оберненої матриці.

Властивості обернення матриць

 Якщо квадратна матриця A

(A 1) 1

невироджена, то для неї існує

(A 1)k

(Ak ) 1,

k 0,1,2,...;

обернена матриця.

(AB) 1 B 1A 1;

 Якщо обернена матриця існує, то

вона єдина.

(A 1)T

(AT ) 1;

 Матриці A та A 1 взаємообернені

й переставні.

 detA

detA

Алгоритм методу приєднаної

матриці.

A22

An2

A12

 Обчислюють визначник матриці A.

detA

 Якщо detA 0, то оберненої до A

матриці не існує.

detA

( 1)i j M

;

Якщо detA 0, то будують

приєднану до A матрицю

A Aij T .

 Обернену до A матрицю знаходять

за формулою

A 1

detA

detA 0

detA

Метод Ґауса — Йордана

елементарні перетворення

(A | E )

(елементарних перетворень)

рядків розширеної матриці

(En | A 1)

* Розширену матрицю A | En дістають дописуванням до матриці A справа одиничної матриці En .

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.11. Лінійна залежність і незалежність стовпців матриці

Лінійна комбінація стовпців.

Лінійною комбінацією стовпців

a21

a2n

a ,a

,...,a

з коефіцієнтами

... n

1, 2,..., n називають стовпець

y 1a1 2a2 ... nan .

Лінійну комбінацію стовпців

0a1 0a2

... 0an

називають тривіальною, якщо всі її

коефіцієнти дорівнюють нулеві.

Лінійна незалежність

Систему стовпців a1,a2,...,an

(залежність) системи стовпців.

однакової висоти називають лінійно

Систему стовпців a1,a2,...,an

залежною, якщо існують такі числа

однакової висоти називають лінійно

1, 2,..., n, не рівні одночасно

незалежною, якщо з рівності

нулеві, що

1a1

2a2

... nan 0

1a1 2a2 ... nan

випливає, що

2 ... n 0.

Систему стовпців a1,a2,...,an

однакової висоти називають лінійно

незалежною, якщо нульовому стовпцю

залежною, якщо існує нетривіальна

дорівнює лише їх тривіальна лінійна

лінійна комбінація стовпців, яка

комбінація.

дорівнює нульовому стовпцю.

Критерій лінійної залежності

Критерій невиродженості

стовпців. Система з n 1 стовпців

(виродженості) квадратної матриці.

лінійно залежна тоді й лише тоді, коли

Квадратна матриця невироджена

хоча б один із стовпців є лінійною

(вироджена) тоді й лише тоді, коли її

комбінацією решти стовпців.

коли її стовпці лінійно незалежні

(залежні).

Стовпці a1,...,an

заввишки n

Стовпці e ,i

, одиничної

1,n

лінійно незалежні (лінійно залежні)

матриці En

лінійно незалежні. Будь-

тоді й лише тоді, коли визначник

який стовпець a заввишки n є

матриці, утвореної стовпцями

лінійною комбінацією одиничних

a1,...,an, відмінний від нуля (дорівнює

стовпців, коефіцієнтами якої є

нулеві).

елементи стовпця a.

16 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.12. Ранг матриці. Східчасті матриці

Ранг матриці. Рангом матриці A		Підматриця. Підматрицею
називають найбільший з порядків її		порядку k матриці A називають
невироджених підматриць і		матрицю, утворену з елементів
позначають rang A.		матриці A, які розташовані на
		перетині вибраних k								рядків та k
		стовпців.

Східчаста матриця. Ненульовий					0
елемент рядка з найменшим номером					0


	*				0		0	0
називають лідером рядка.					0		0	0
називають лідером рядка.

					0		0	0	0
Матрицю називають східчастою, якщо					0		0	0	0
Матрицю називають східчастою, якщо
вона справджує умови:							0	0	0	0	0

				0								0
1) нульові рядки матриці (якщо вони є)		— лідери;
розташовані нижче ненульових;		— будь-які елементи
2) номери стовпців, у яких стоять		— будь-які елементи
2) номери стовпців, у яких стоять
лідери рядків, зростають.

Зведена східчаста матриця.					0		1		0	0


Східчасту матрицю називають
Східчасту матрицю називають						0	0	0	1	0
						0	0	0	1	0
зведеною (редукованою), якщо:
зведеною (редукованою), якщо:
						0	0	0	0	1
						0	0	0	0	1
1) всі лідери рядків дорівнюють 1;
1) всі лідери рядків дорівнюють 1;							0	0	0	0	0
					0		0	0	0	0	0	0
2) над лідерами стоять 0.
2) над лідерами стоять 0.

Властивості рангу матриці.		Ранг нульової матриці вважають
 Ранг матриці дорівнює найбільшій		рівним нулеві
 Ранг матриці дорівнює найбільшій		Будь-яку матрицю елементарними
кількості лінійно незалежних рядків		Будь-яку матрицю елементарними
(стовпців) матриці.		перетвореннями можна звести до
 Ранг східчастої матриці дорівнює		східчастого вигляду.
 Ранг східчастої матриці дорівнює
кількості ненульових рядків.			A	0	rang An				n
кількості ненульових рядків.			A	0	rang An				n
 Транспонування матриці,			A	0	rang An				n
 Транспонування матриці,			A	0	rang An				n
елементарні перетворення матриці та
видалення нульових рядків (стовпців)
матриці не міняють її рангу.

Ранги еквівалентних матриць рівні.

*Всі елементи, які розташовані вліво і вниз від лідера рядка східчастої матриці нульові.

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.13. Обчислення рангу матриці

Алгоритм зведення матриці до

східчастого вигляду (прямий хід методу Ґауса).

 Якщо матриця нульова, то зупиняються — матриця вже має східчастий вигляд.

 Знаходять перший зліва стовпець з лідером; переставляючи рядки, переміщують рядок, який містить цей лідер нагору.

 Додаючи до всіх рядків, які розташовані нижче, цей рядок, помножений на відповідні коефіцієнти, дістають під лідером нулі.

 Повторюють кроки 1–3 для решти рядків.

Процес припиняється якщо рядки вичерпано або решта рядків нульові.

Алгоритм перетворення матриці

до зведеного східчастого вигляду (метод Ґауса — Йордана).

 Зводять матрицю до східчастого вигляду (прямий хід методу Ґауса).

 Відкидають нульові рядки (це вже не є елементарним перетворенням).

 Ділячи останній рядок на його лідера, одержують 1.

 Додаючи до решти рядків новий останній рядок, помножений на відповідні коефіцієнти, дістають нулі над 1.

 Повторюють кроки 1–4 для решти рядків.

Процес припиняється, якщо рядки вичерпано.

Знаходження рангу матриці методом Ґауса.

 Матрицю за допомогою елементарних перетворень зводять до східчастого вигляду.

 Кількість ненульових рядків у східчастому вигляді матриці дорівнює її рангові.

18 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.14. Системи лінійних алгебричних рівнянь

Система m лінійних

алгебричних

... a

b ,

12 2

рівнянь

(СЛАР) з n

невідомими

... a

b ,

,...,x

..............................................

...

m1 1

Основна матриця системи*

a11

a1n

Am n

Стовпець невідомих

Стовпець вільних членів

Розширена матриця системи

A | b

Матричний вигляд СЛАР

Векторний вигляд СЛАР

... xn

* Перший індекс коефіцієнта aij при змінній вказує на номер рівняння, а другий — на номер невідомої, при якій стоїть цей коефіцієнт.

Розширена матриця системи повністю задає СЛАР.

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.15. Дослідження розв’язності СЛАР

Розв’язок СЛАР. Розв’язком СЛАР

називають набір n значень невідомих x1 c1,..., xn cn, підставлення яких

у всі рівняння системи перетворює їх на тотожності. Розв’язок системи записують як стовпець c (cj )n .

Будь-який розв’язок системи називають її частинним розв’язком.

Множину всіх частинних розв’язків називають загальним розв’язком

системи.

Характеристики СЛАР. СЛАР

Дві системи називають рівносильними,

називають сумісною (розв’язною),

якщо кожний розв’язок першої

якщо вона має хоча б один розв’язок, і

системи є розв’язком другої, і навпаки.

несумісною (нерозв’язною), якщо вона

Усі несумісні системи вважають

не має розв’язків.

рівносильними.

Сумісну систему називають

визначеною, якщо вона має єдиний

розв’язок, і невизначеною, якщо вона

має більше як один розв’язок.

Теорема Кронекера — Капеллі.

rang A r,

СЛАР сумісна тоді й лише тоді, коли

rang A r

ранг основної матриці системи дорівнює

рангові розширеної матриці системи.

СЛАР Am nx

 Якщо ранг основної матриці системи

дорівнює рангові розширеної матриці і

дорівнює кількості невідомих, то

r r

система має єдиний розв’язок.

r n

 Якщо ранг основної матриці системи

дорівнює рангові розширеної матриці,

єдиний

безліч

жодного

але менший за кількість невідомих, то

розв’язку

розв’язок

розв’язків

система має безліч розв’язків.

Розв’язати систему означає:

СЛАР з матрицею n n :

1) з’ясувати, чи є система сумісною

1) detA 0

або несумісною;

система має єдиний розв’язок;

2) якщо система сумісна, то знайти

2) detA 0

множину її розв’язків

система не має жодного розв’язку або

має безліч.

20 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.16. Методи розв’язання СЛАР

Матричний метод

A 1b

b x

(метод оберненої матриці)

(для невироджених систем,

det A 0)

Метод Крамера

(для невироджених систем)

, j 1,n,

стовпець

вільних

членів

b an

j-й стовпець

матриці A

Матричний методі і метод Крамера застосовують лише до квадратних матриць.

Елементарними перетвореннями

СЛАР називають:

1)переставляння рівнянь;

2)множення обох частин якого-небудь рівняння на число, відмінне від нуля;

3)додавання до рівняння іншого рівняння, помноженого на деяке число.

Елементарні перетворення СЛАР приводять до відповідних елементарних перетворень рядків матриці та розширеної матриці системи.

СЛАР, одержані одна з одної елементарними перетвореннями,

називають еквівалентними.

Еквівалентні СЛАР рівносильні.

Алгоритм методу Ґауса — Йордана* (універсальний метод)

 Записують розширену матрицю				a				a				b
 Записують розширену матрицю				a				a				b
						11				1n		1
системи.


								a				b
				a		m1		a		mn		b
						m1				mn		m

 Зводять розширену матрицю до		1,k1 ... ...												1




східчастого вигляду (прямий хід		0	...	0	2,k			...						2
східчастого вигляду (прямий хід		0	...	0	2,k		2	...						2
							2

методу Ґауса).								...	...					...
методу Ґауса).	... ... ... ...							...	...					...


		0	...	0		0		...	0				... ...
		0	...	0		0		...	0			r,kr	... ...
												r,kr		r

		0	...	0		0		...	0			0	0
		0	...	0		0		...	0			0	0
														r 1

											... ... ...			...
	... ... ... ... ... ... ...										... ... ...			...


		0	...	0		0		...	0			0	... 0
		0	...	0		0		...	0			0	... 0
														m

* Цей метод ще називають методом елементарних перетворень.

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке edisk_files

#
12.05.20153.41 Mб17PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf