РГР по математике

1

Министерство образования и науки Российской Федерации Коломенский институт (филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ)» в г. Коломне Московской области

Е.Ф. КАЛИНИЧЕНКО

МАТЕРИАЛЫ

расчетно-графических работ по математике

для студентов 1 курса специальностей менеджмент и государственное и муниципальное управление

Издание первое

Коломна КИ (ф) МГОУ – 2014

2

УДК 512.64 (075);

ББК22.11

Рецензенты:

кандидат технических. наук, доцент кафедры строительного производства КИ (ф) МАМИ Брыль С.В.

Калиниченко Е.Ф.

МАТЕРИАЛЫ расчетно-графических работ по математике. 1-е изд., –

Коломна: КИ (ф) МАМИ, 2014, 65 с.

Учебное пособие содержит теорию, задания и требования к выполнению расчетно-графических работ по математике. Предназначено для студентов специальностей «менеджмент» и «государственное и муниципальное управление» технических университетов дневной формы обучения.

Рассмотрено на заседании кафедры строительного производства 9.10.2014г., протокол №3/2014

3

1.Расчетно-графическая работа по математике №1

1.1. Краткая теория

1.1.1. Решение систем линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

.

Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. Числа a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов aij системы обозначают номера уравнения i и неизвестного j , при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система называется однородной , если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Решением системы называют совокупность n чисел c1, c2, …, cn таких, что подстановка каждого ci вместо неизвестного xi в систему, обращает

все её уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решить систему значит найти все ее решения или показать, что система несовместна.

Систему линейных уравнений можно представить в матричной форме

или AX = B.

Если к матрице A приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной матрицей системы.

4

Методы решения.

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения, когда с помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы приводится к треугольному виду. Записав систему, соответствующую треугольному виду, последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Методом Гаусса может быть решена любая система уравнений.

Пример 1. Решить методом Гаусса следующую систему:

Решение. Прямой ход. Расширенная матрица системы имеет вид:

на (-3), а к третьей прибавим первую, умноженную на (-2), получим матрицу:

систему к треугольному виду, тем самым, закончив первый этап алгоритма.

Обратный ход. Из последнего уравнения находим переменную z и подставляем ее значение в первое и второе уравнения, получаем систему:

x ( 1) 3,y ( 1) 2,

z 1.

5

Из второго уравнения находим переменную y и подставляем ее значение в первое уравнение, получаем систему:

исходная система решена x 2; y 3; z 1.

Метод Крамера. Этот метод применяют для систем, у которых число уравнений равно числу неизвестных.

Теорема Крамера. Пусть =| A | - определитель матрицы системы, а i -

определитель матрицы системы, полученный из матрицы A заменой i того столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 0 , то система имеет

0 и все i 0 , то система имеет бесконечно много решений. Если 0 и хотя бы один из определителей i 0 , то система не имеет решений.

Пример 2. Решить методом Крамера следующую систему:

Решение. Определители:

Пример 3. Решите систему уравнений

Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Найдем эти решения. Так как определитель системы 0 , то ранг матрицы

второго порядка не равен нулю, то ранг матрицы системы равен двум.

2. Выделим подсистему, коэффициенты при переменных которой входят в

3. Неизвестные x1 , x2 , коэффициенты при которых входят в минор M 2 0

являются базисными, неизвестными, неизвестная x3 , коэффициенты при которой не входят в минор, является свободной неизвестной, переносим

4. Решаем полученную подсистему методом Крамера при произвольных

Матричный метод. Этот метод применяют для систем, у которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы

обратную к матрице A:

Так как A − 1A = E, получаем X = A − 1B.

Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы.

Пример 4. Решить матричным методом систему:

Решение. Сначала убедимся в том, что матрицы системы не равен нулю.

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.

9

1.1.2. Элементы матричного анализа

Векторы на плоскости и в пространстве. Любой отрезок прямой имеет две концевые точки. Если одна из них принята за начало отрезка, а другая — за конец, то такой отрезок называется вектором. Векторы обычно

1.(x1; y1; z1) + (x2; y2; z2) = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).

2.(x1; y1; z1) —(x2; y2; z2) = (x1 — x2; y1 —y2; z1 —z2)

3.λ (x1; y1; z1) = (λx1; λy1; λz1)

Пример 5. По координатам векторов а = (—4; 6; 0), b = (1; —1; 7) найти координаты векторов: а +b; а — b; 5а; 3b — а.

Решение. Используя правила 1—3, получаем:

а +b = (—3;5;7); а — b = (—5; 7; —7);

5а = (—20; 30; 0); 3b — а.= (5; — 6; 21).

Собственные векторы, собственные значения линейного оператора

называется собственным числом (собственным значением) оператора f ,

характеристического уравнения | A E | 0.. Для каждого собственного

10

значения 0 соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения (A 0 E) X 0.или соответствующей ему системы линейных уравнений

( )

{ ( )

( )

Квадратичные формы.

Квадратичная форма переменных x1 , x2 ,...xn - функция

aij - коэффициенты квадратичной формы.

где 1 , 2 ,... n - собственные значения матрицы A.

Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны

Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда