Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Коломенский институт филиал МГМУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

РГР по математике

.pdf

Скачиваний:

342

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

1.1.3. Уравнение прямой линии

Общее уравнение прямой линии Ax By C 0 .

Уравнение прямой линии, проходящей через точку M1(x1; y1)

y y1 k(x x1 ) .

k - угловой коэффициент прямой определяется по формуле: k tg , где угол, который составляет прямая линия с положительным направлением оси

Ox .

Уравнение прямой, проходящей через точки M1(x1; y1) и М2(x2; y2)

Пример 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M1(3; —2)

и М2(5; 1).

Решение. После подстановки координат точек M1 и М2 в уравнение

получим

или 3х — 2у — 13 = 0.

Условие параллельности и перпендикулярности прямых линий

		Пусть заданы две прямые l1 : y k1 x b1		и l2 : y k2 x b2 .
l1 \|\| l2 k1 k2 .
l1	l2	k1	1
			k2

Расстояние от точки до прямой линии

Пусть даны точка M1{x1 ; y1) и прямая l, заданная своим общим уравнением Ax By C 0 . Расстояние от точки M1 до прямой l определяется по формуле:

d |Ax1 By1 C| A2 B2 .

1.2. Задания

Задача 1. Решить методами Гаусса, Крамера и матричным методом.

x1 x2 x3 0,

1.3x2 6x3 12,3.

x1 x2

	x1 2x2 3x3 4,
4.		2x1 x2 x3 3,

	3x 3x					2		2x			3		7.
			1
	x1		4x2 2x3									18,
7.				x2 x3					7,

			3x1 x2						3.

		2x1 x2 x3 3,
10.			3x1 4x2						11,

			x2 x3 1.

				x1 x3					0,
				2x2 x3									6,
13.		2x1
		x		x	2			3x		3			6.
			1
		x1 x2 x3 2,
16.			2x1 3x2						6,

			x2	2x3 2.

				x2 x3					2,
19.				x1 x2					0,

		x 2x					2	2x				3	5.
			1

x1 x2 x3 2,

22.3x1 2x2 x3 12,x x 0.

1 3

	x1 x2				2x3		13,
25.		3x1 2x3 14,

	2x		x	2	3x	3	19.
		1

3x1 2x2 x3 10,

28.5x1 2x2 2x3 15,

x x x 6.

1 2 3

x2 x3 2,

2. x1 2x2 x3 2,x1 x2 x3 3.

x1 x2 x3 2, 5. 2x1 3x2 10,

x2 2x3 2.

		x2 x3				2,

8.	x1 2x2 x3 2,
		x	x	2	x		3	3.
		1
			x1 x2				5,
			3x2 4x3 6,
11.	2x1
			x2 3x3				15.

	x1 2x2 x3 0,
14.		x1 2x2				6,

		x2	5x3			8.

x1 x2 x3 2,

17.3x1 2x2 x3 8,x 2.

2 2x3

	x1 2x2 x3 0,
20.			2x1 x3			6,

	x		x	2	4x	3	8.
		1

x1 x2 x3 1,

23.3x1 x2 2x3 2,2x x 1.

2 3

2x1 x2 x3 3, 26. 5x1 3x2 x3 8,

2x1 2x3 4.

2x1 2x2 x3 6,

29.3x1 2x2 2x3 6,3x1 x2 2x3 12.

	x1 2x2 x3 0,
3.			x1 x2							6,

			x2	5x3						8.

	x1 x2 x3 1,
6.			2x1 x3							1,

			x1 x2								0.

	x1 x2 2x3 13,
9.			2x1 x2									1,

			x1 x3								6.

	3x1 2x2									x3			10,
12.			2x1 x3									5,

			x1 x2 1.

	x1 x2 x3 1,
15.			x1 2x3									1,

				x1 x2								2.

			x1 x2 x3 0,
													12,
18.	x1 4x2 7x3
			2x		2x				2		x		3		3.
			1
	x1 x2 x3 1,
21.			x2			3x3						2,

			2x2 x3									1.

		x1 4x2								2x3					18,
				3x2						2x3					11,
24.		x1
		4x			5x			2			2x			3	15.
			1
						x1 x2 5,
				4x2							4x3				1,
27.		3x1
			2x			4x					2	x		3	9.
				1
		x1 2x2 x3 2,
30.					x1 x2							0,

		x 2x					2			2x			3		5.
			1

Задача 2.

			3, 5) образуют базис.
1. Доказать, что векторы a(1, 2, 3); b( 1, 3, 2); c(7,

2. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах

a	= (1,2,3)и b = (-4,5 - 8) .

3. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах

= k-j и b = i + j + k.

Векторы a = (7 ,5;-5) и b (2,-1,3) . Найти a - 2b и 3a + 2b ..

Найти

угол

между

диагоналями

параллелограмма,

построенного

на

векторах

2 i j и b 2 j

k .

Для

заданных

векторов

a (2,

-1),

b (1,

найти

скалярное

произведение.

Найти

угол

между

диагоналями

параллелограмма,

построенного

на

векторах

6i 3 j 2k ;b

3i 2 j 6k .

Определить координаты концов отрезка, который точками C (2,0,2) и D(5,-

2,0) разделен на три равные части.

Даны 2 вектора a

(1, -2,3)иb

(4,7,2) , найти вектор (a-b; a + b) .

10. Установить образуют ли векторы a1 , a2 , a3

базис, если a1 (2,3,-1), a2 (1,-1,3),

a3 (1,9,-11).

11. Найти

орт

вектора

направляющие

косинусы

3i 4 j

12k

определенного им направления.

12.Вычислить площадь треугольника АВС, если A (1, 1), В(2, 3), С(4, 3).

13.На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек A (1, -4, 7) и B

(5, 6, -5).

14.

Даны векторы a

b . Построить c

b;c

a 2b .

15.

Дано,

что

- базис

е1 е 2

е 3 , b

2 e 2 3 e 3 , c

e 2

5 e 3 ,

где

e1 , e 2 , e 3

образуют базис.

линейного пространства. Доказать, что векторы тоже a, b, c

16. Даны точки A (3, 3, -2), В(0, -3, 4), С(0, -3, 0) и D(0, 2, -4). Построить векторы

AB a и СD b и найти a 3b .

17.

Дан треугольник АВС с вершинами A (3, -1, 5), В(4, 2, -5), С(-4, 0, 3). Найти

длину медианы AD .

18.

Показать, что векторы a , b ,

c , образуют базис, если

a (7,2,1),

b (4,3,5) и

c (3,4,-2).

19.

Даны вершины треугольника АВС А(1, 1), В(4, 5), С(13, -4). Составить

уравнение медианы, проведенной из вершины В.

20.

Для заданных векторов a (2,1,-1), b (1,2,1), c (2,-1,3),

d (3,-1,2), вычислить

3(a

c) - (8b - 5d) .

21.

Найти

угол

между диагоналями

параллелограмма,

построенного на

векторах a

i j и b

i 2 j

k .

22.

(7; 3;5) образуют базис.

Доказать, что векторы a

(1;2;3);b

( 1;3;2);c

23.

Для

заданных

векторов

(3, 1,2)

(2,1, 1);b (1,2,1);c

(2, 1,3);d

вычислить 3(a - c) + 2b - d. .

24.

Проверить

на

линейную

зависимость

тройку

векторов

a 3i 4 j;b 3 j k ;c

2 j 5k .

25.

Для

заданных

векторов

(3, 1,2)

(2,1, 1);b (1,2,1);c

(2, 1,3);d

вычислить направляющие косинусы вектора

c = 3b - 2(c + d). .

26. Установить образуют ли векторы a

3i 5 j;b

i j

2k ;c 5i

3 j 4k

базис.

27.

При

каких

значениях m и

n векторы d

3 j mk ;c

6 j

коллинеарные?

28.

Даны

две точки

A (2, 4, 6) и В(6, -8, 6). Построить

AB , определить его

длину.

29. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек А(1,-4) и В(5,6).

30. Найти угол между векторами			4
30. Найти угол между векторами	a	2 i	4	j,b	i	j	k , где	i , j, k - образуют

ортонормированный базис.

Задача 3.

1. Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

1		2
			.
	4	3
	4	3


2.	Найти, матрицу перехода от базиса					(e1 , e2 , e 3 )	к базису ( a =2e2 +e3 , b =-

	e1 +2 e3 , c =e1 + e2 ).

3.	В базисе (e1 , e2 , e 3 ) задан вектор d =(4;0;-12). Найти координаты этого

	вектора в базисе ( a =e1 +2 e2 +e3 , b =2e1 +3e2 +4e3 , c =3e1 +4e2 +3 e3 ).
4.		2		1					) к базису
4.	Дана матрица A=				перехода от базиса (e1			, e	) к базису	(a, b) .
			3					2
			3	5


Найти разложение векторов a и b по векторам e1			и e2 .
5. Найти собственные числа	и	собственные	векторы линейного

оператора, заданного матрицей

2		4
			.
	1
	1	3
		7	3
6. Дана матрица A=				перехода от базиса (e1	, e	)	к базису (a, b) .
		5			2
		5	11

Найти координаты векторов a и b в базисе (e1 , e2 ) .

7.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

			15
3		4
			.
	2	1
	2	1

8. Привести к диагональному виду матрицу линейного оператора

1		2
А=			.
	4	3
	4	3

9. Привести к диагональному виду матрицу линейного оператора

3		1
А=			.
	2	2
	2	2

10. Привести к диагональному виду матрицу линейного оператора

1		0	2
A=	0	3	0	.
	0	0	0

11. Привести к диагональному виду матрицу линейного оператора
1		1	8
A=	0	2	0		.
	1	0	1

12. Привести к диагональному виду матрицу линейного оператора, заданного матрицей

2		0	6
A=	1	3	2	.
	1	0	1
	1	0	1

13.Представить квадратичную форму L=3x12+x22-x1x2.в матричном виде.

14.Представить квадратичную форму L=x12+x32- 2x1x2+5x1x3 в матричном виде.

15.Представить квадратичную форму L=2x12+3x22- 2x32 +x1x2+2x1x3+3x2x3 в матричном виде.

16.Получить матрицу квадратичной формы L=2x12- 3x32 - 4x1x2+4x1x3- 8x2x3.

17.Получить матрицу квадратичной формы L=x12+2x1x2+2x2x3.

18.Получить матрицу квадратичной формы L=x12+x32 - 4x2x3.

19.Получить матрицу квадратичной формы L=x12+3x22+4x32 +2x1x2+2x1x3+6x2x3.

20.Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

L=x12+4x22+3x32 +2x1x2.21.

21.Найти собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

2		0	6
A=	1	3	2	.
	1	0	1
	1	0	1

22.Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму L=-x12+2x22- 3x32-x1x3+2x2x3.

23.Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

L=- x12+x22+x32 +4x1x2+6x1x3+4x2x3.

24. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму L=-3 x12+3x32

+4x1x2+4x1x3-2x2x3.

25. . Найти собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

1		1	8

	0	2	0	.
	1	0	1

2			2	0
					имеет диагональный вид.
26. Найти базис, в котором матрица	2		1	2	имеет диагональный вид.
	0		2	0
	0		2	0
1		2
27. Найти базис, в котором матрица			. имеет диагональный вид.
	4	3
	4	3
3		1
28. Найти базис, в котором матрица			. имеет диагональный вид.
	2	2
	2	2

29. Найти матрицу перехода от базиса (e1 , e2 , e 3 )

к базису ( a = e1 +2 e2 +e3 , b =2

e1 +5 e2 - e3 , c =- e1 - e2 ).

30.

В базисе

(e1 , e2 , e 3 )

задан вектор

d =(0;-2;3). Найти координаты этого

вектора в базисе ( a =-2e2 +2 e3 , b =e1 +3 e2 - e3 , c =-e1 +5 e2 +e3 ).

Задача 4.

1. Даны три точки A (5,7), В(-1;0) и

C (0;7).. Найти проекцию точки C на

прямую линию, проходящую через точки A и В.

2.Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки A (2, 1) на прямую линию x = 2y – 1.

3.Получить уравнение прямой линии, проходящей через точки A (0, 4) и

B (2, 0). Найти точку пересечения ее с прямой x + y + 1 = 0 и угол между ними.

4.Составить уравнения прямых, проходящих через точку A (-4;1) параллельно осям координат.

5.Написать уравнение прямой, которая проходит через точку М0(-2,-4) параллельно прямой 3х - 2у - 7 = 0.

6.Дана прямая 2х + у – 6 = 0 и на ней две точки A и В с ординатами y A = 6 и yB = -2. Найти длину высоты AD , треугольника АОВ, где O - начало

координат.

7.Найти точку пересечения высот треугольника, вершины которого A (-4,

2), В(2, -5), С(5, 0).

8.Даны вершины треугольника A (-1;3), B (3;-2) и C (5;3). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В.

9.В треугольнике АВС даны: 1) уравнение стороны AB 3х + 2у = 12; 2) уравнение высоты ВМ х + 2у = 4; 3) уравнение высоты АМ 4х + у = 6, где М-точка пересечения высот. Написать уравнение стороны АС.

10.Написать уравнение прямой, проходящей через точку A (0;1) и центр окружности x2 + 2x + y2 = 0.

11.Составить уравнение 3-х сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой 4х + 3у – 12 = 0, концы которого лежат на осях координат.

12.Найти точку пересечения медиан треугольника АВС, если A (-4, 2), В(2,

-5), С(5, 0).

13.Даны вершины A (-3, -2), В(4, -1), С(1, 3) трапеции ABCD(AD||ВС). Известно, что диагонали трапеции перпендикулярны. Найти вершину D трапеции.

14.Даны две вершины A (-2;1) и B (3;-4) треугольника и точка D(5;-1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

15.Найти расстояние от точки М0(-12,7) до прямой, проходящей через точки М1(-3,4), М2(1,5).

16.	Показать, что прямая	x + 1	=	y + 1		параллельна прямой 2x + y – 9 =0.
				1
	2
17.	Найти проекцию точки A(1;-3) на линию прямую L: x + y + 1 = 0.
18.	Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из начала
	координат на прямую линию				x - 2	=	y - 1	.
				2
						3
19.	Дан треугольник АВС, где А(3, -4) и уравнения его высот 7x - 2y – 1 = 0,
	2х - 7у – 6 = 0. Найти длину высоты BD.
20.	Через вершины треугольника А(-1;2), В(3;-1) и С(0;4) проведены
	прямые параллельно противолежащим сторонам. Составить их
	уравнения.
21.	Найти угол между двумя прямыми					6x – 5y + 8 = 0; 6x + 5y + 4 = 0.

22.Даны стороны параллелограмма, заданные уравнениями у = х - 2 и 5у = х + 6. Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнение двух других сторон и диагоналей.

23.Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения

прямых 2х -3	у + 5 = 0 и			3х + у – 7 = 0 и перпендикулярной к
прямой у = 2х.
24. Убедитесь, что прямые L1:		x -	1	y 2	и L2:	x -	1	y 2	пересекаются.
24. Убедитесь, что прямые L1:		2		-3	и L2:	3		2	пересекаются.
		2		-3		3		2

25.Найти точку симметричную точке М(-3, 0) относительно прямой 2х – у +

1 = 0.

26.Найти угол между двумя прямыми 4х - 5у – 1 = 0, х - 4у + 5 = 0.

27.Найти расстояние от точки М0(-1, 0) до прямой, проходящей через точки М1(-3,4), М2(1,5).

28.Даны уравнение боковых сторон равнобедренного треугольника 3х + у = 0 и х - 3у = 0 и точка О(0, 0) пересечения его высот. Найти площадь треугольника.

29.	Найти проекцию точки М(-1, 0) на прямую	x	=	y - 1,5	.
		-1		2

30.	Лежат ли на одной прямой три точки А(2;0), В(6;4), С(11;9).

1.3.Выбор индивидуального задания

1.3.1.В каждой задаче студент выбирает условие, соответствующее номеру своего варианта.

1.3.2.Выбор варианта осуществляется по двум последним цифрам зачетной книжки.

1.3.3.Комбинации цифр 01 соответствует вариант 1, комбинации цифр 02 соответствует вариант 2 и т.д. При комбинации цифр от 30 до 90, вычисляется остаток от деления на 30, который является исходной комбинацией для выбора варианта задания, если комбинация цифр больше 90, тогда вычисляется остаток от деления на 90, который соответствует номеру варианта задания.

1.4.Требования к выполнению РГР

1.4.1.Каждый студент 1-го курса должен выполнить расчетнографическую работу по математике в срок.

1.4.2.Вариант выбирают по двум последним цифрам зачетной книжки.

1.4.3.Работы выполняется в тонкой тетради в клетку, и сдаются преподавателю.

1.4.4.Во всех геометрических задачах прилагается чертеж.

1.4.5.Номер варианта указывается на титульном листе (образец оформления титульного листа приведен ниже).

1.5.СРОК представления РГР

До 15 ноября соответствующего календарного года.

2.Расчетно-графическая работа по математике №2

2.1. Краткая теория

2.1.1. Пределы

	Пусть заданы две функции f (x) и g(x) . Если существуют пределы
lim	f (x) и lim g(x) , то существуют и пределы суммы и произведения этих
x x0	x x0

функций, а при условии lim g(x) 0 и предел частного, причем

x x0

Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой функции. Не трудно доказать, что предел постоянной

функции равен этой постоянной, то есть lim С С . Из приведенных формул

x x0

следует полезное утверждение:

то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Если сделать замену переменной t x x0 , то вычисление предела при x x0 всегда можно свести к вычислению предела при t t0 .

Из определения непрерывной функции следует, что ее предел

совпадает со значением функции в этой точке lim f (x) f (x0 ) . Все

x x0

элементарные функции непрерывны в области определения, поэтому, если функция определена, то вычисление предела сводится к применению указанных теорем и подстановке x0 в выражение функции.

Неопределенные выражения и их раскрытие.

Существуют случаи, когда не применимы теоремы о пределах суммы, произведения, частного, но предел существует и может быть вычислен. Если

lim f (x) и		lim g(x) ,				то может существовать( lim		f (x) g(x)) .			В этом
x x0		x x0					x x0
случае говорят,		что имеем неопределенность типа						.	Также может
существовать lim			f (x)		, в этом случае имеем неопределенность типа						.

	x x0		g(x)
Если	lim f (x) 0 и			lim g(x) 0 , то может			существовать	lim	f (x)	.	В этом

	x x0			x x0				x x0	g(x)
случае	говорят,	что			имеем	неопределенность типа .		Если lim f (x) 0
										x x0
и lim g(x) ,		то		может		существовать	lim f (x) g(x) -	неопределенность
x x0							x x0

типа .

Рассматривают также неопределенности типа , и т. д. Основным признаком неопределенности является невозможность корректного вычисления функции простой подстановкой x0 в выражение для функции.

Полезно запомнить замечательные пределы:

первый замечательный предел

его используют для вычисления неопределенность типа .

второй замечательный предел

(е = 2.71828… - основание натуральных логарифмов), его используют для вычисления неопределенностей типа .

2.1.2. Производная функции

Производная является основным понятием дифференциального исчисления, характеризующим скорость изменения функции. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция y f (x) . Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.2019459.26 Кб13Радиационная, химическая, биологическа защита.doc
#
02.09.2019342.31 Кб5Распиновка разъемов автомагнитол.docx
#
22.07.201941.75 Mб8Расчет 7-6.doc
#
17.11.2019279.84 Кб1расчет структур с применением эвм.docx
#
25.11.2019679.42 Кб4РГР ИВТ УТС 3 с. 2012.doc
#
11.05.20151.97 Mб342РГР по математике.pdf
#
21.11.2019389.12 Кб4РЕГИОНАЛЬНАЯ ЭКОНОМИКА-2010.doc
#
12.08.2019214.53 Кб4Рекомендации по прохожд.тов.-техн.пр. 3 курс .doc
#
17.03.201625.06 Кб27реферат крестов.docx
#
19.09.201926.71 Кб12РЕФЕРАТ МЕЛЬНИК.docx
#
15.09.20191.39 Mб26Реферат Методы выявления и устранения потерь на...doc