Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Коломенский институт филиал МГМУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

РГР по математике

.pdf

Скачиваний:

342

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

3.Расчетно-графическая работа по математике №3

3.1. Краткая теория

3.1.1. Неопределенный интеграл

Определение 1. Функция F (x)

называется первообразной от функции f (x) на

интервале (a;b) , если во всех точках этого интервала F (x)

дифференцируема

и F (x) = f (x) .

Пример 1. Найти первообразную для функции f (x) =x4.

Решение. Из

определения

следует, что

функция

F (x) =

является

первообразной, так как (5 x )

Определение 2. Если F (x)

является первообразной для

f (x) , то выражение

F (x) +С, называется неопределенным интегралом от

функции

f (x) и

обозначается

f (x)dx .

Таким образом, по определению

f (x)dx = F (x) +С, если

F (x) = f (x) .

При этом,

знак

называют знаком интеграла,

функцию f (x) -

подынтегральной

функцией,

выражение

f (x) dx –

подынтегральным

выражением.

Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием функции. Таким образом проинтегрировать функцию значит найти все ее первообразные.

Свойства неопределенного интеграла Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

( f (x)dx) = f (x) .

Действительно пользуясь определением 1, имеем ( f (x)dx) =(F(x) C) = f (x) .

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

		d( f (x)dx) = f (x) dx.
В	самом	деле,	f (x)dx = F (x) +С,	тогда	d( f (x)dx) =d(F(x)+C)=
(F (x) C) dx F (x)dx =			f (x) dx.

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

dF (x) = F (x) +С.

По определению дифференциала функции dF(x)= F (x) dx, тогда имеем,

dF (x) = F (x)dx f (x)dx = F (x) +С.

Свойство 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

( f1 (x) f2 (x))dx = f1 (x)dx + f2 (x)dx .

По свойству 1 ( ( f1 (x) f2 (x))dx) =f1(x)+f2(x).

С другой стороны ( f1 (x)dx + f2 (x)dx) =9 f1 (x)dx) +( f2 (x)dx) = f1(x)+f2(x).

Так как производные слева и справа равны, то функции отличаются на постоянную величину. В этом смысле и следует понимать свойство 4. Свойство 5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е., если С=const, то

Сf (x)dx = С f (x)dx .

Для доказательства найдем производные от левой и правой части

( Сf (x)dx) =Сf(x),

(C f (x)dx) =C ( f (x)dx) =Cf(x).

Производные слева и справа равны, следовательно, функции стоящие слева и справа отличаются только на постоянную величину

Таблица интегралов

1. 0dx C.

2.xn dx nx 1 C , при n 1.

3.x 1dx = dxx =ln|x|+C, при x 0.n 1

4. a x dx =	a x	C , при a (0;1) (1; ) , в частности,	e x dx =ex+C.
	ln a

5.sin xdx =-cosx+C, cos xdx =sinx+C.

6.cosdx2 x = tgx+C, sindx2 x = - ctgx+C.

arcsin

, при x ( a; a).

arccos

arctg

a arcctg a C.

= ln | x

a |

10.

ln |

x a

| .

x a

Пример 2. Вычислить интеграл

3x2 5

Решение.

∫

Применив

свойство

получим

(

)

где a2=

∫

. Применив,

формулу

8 таблицы интегралов,

(

)

окончательно получаем: ∫

√

3.1.2. Определенный интеграл

Непосредственное вычисление определенного интеграла связано с трудностями – интегральные суммы имеют громоздкий характер и их трудно преобразовать к виду удобному для вычисления интегралов. По крайней мере, нет общих методов, как это сделать. Каждая задача решалась индивидуально, пока Ньютону и Лейбницу не удалось показать, что вычисление определенного интеграла от функции можно свести к отысканию ее первообразной.

Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a,b] , то она интегрируема

и на отрезке [a, x] , где x [a,b] , т.е. существует интеграл f (t)dt . Этот интеграл

является функцией x , его обозначают

Ф(x) = f (t)dt

и называют интегралом с переменным верхним пределом. Интеграл с переменным верхним пределом обладает свойствами, сформулированными в следующих теоремах.

Теорема 1. Если f (x) - непрерывная на отрезке [a,b] функция и Ф(x) = f (t)dt ,

		a
	x
		= f (x) .
то Ф (x) = f (x) , или	( f (t)dt)	= f (x) .
	a
Теорема 2. Если	F (x) есть некоторая первообразная от непрерывной

функции f (x) , то справедлива формула

f (x)dx = F (b) F(a) .

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Разность первообразных функций обычно обозначают символом

F (b) F(a) = F (x) .

Пример 3. Вычислить интеграл sin xdx .

				34
2	2
2	2
Решение. sin xdx = cos x		= cos		cos 0 =1.
Решение. sin xdx = cos x	0	= cos	2	cos 0 =1.
0	0		2
0
Замена переменных в определенном интеграле
					b
Пусть необходимо вычислить интеграл					f (x)dx , где	f (x)	непрерывная
					a
на отрезке [a,b] функция. Положим x (t) , подчинив (t)						условиям:
1. Функция (t) определена и непрерывна на отрезке [ , ]							и ее значения
не выходят за границы [a,b] , т.е. если					t [ , ], то a (t)		b .

2.( ) a , ( ) b .

3.На отрезке [ , ] существует непрерывная производная (t) .

Тогда имеет место формула

b

f (x)dx = f ( (t)) (t)dt
a

Ввиду непрерывности подынтегральных функций существуют не только эти определенные интегралы, но и соответствующие первообразные. Замечание. Получив первообразную, выраженную через новую переменную t , к прежней переменной x не возвращаются.

2
Пример 4. Найти интеграл	4 x 2 dx .
0

Решение. Для вычисления интеграла воспользуемся подстановкой x 2sin t ,

тогда 4 x2

4 4sin 2 t 4cos2 t ,

dt 2cos tdt . Причем,

если

x 0 ,

t 0 , а если

dx = 22 cos t2 cos tdt = 4

2cos 2

tdt = 4 2

x 2 ,

. Имеем:

4 x 2

(1 cos 2t)dt =

2(t 12 sin 2t)|0 2 = 2( 2 12 sin 0 12 sin 0) = .

3.2.Задания

Задача 1. Найти неопределенный интеграл

1.		xdx	.
1.			.
	3	x2 2

2.x 2 dx .

x3 5

3.e x 2 5e x dx .

arctgx

dx .

1 x

sin(ln x)

dx .

e x

dx .

2 x

8.		xdx		.

	x	2	5

9.x 2 dx .

x6 5

10.		x 2 dx										.

			x		6				1
			x						1
11.				xdx										.


	16					x						4
	16					x
12.		2xdx											.


			x		2				1
			x						1
13.		ln 2 x						dx .
13.								dx .
			x
14.			xdx								.

		1 x							2
		1 x
15.		arcsin xdx
															.

	1					x				2
	1					x
16.			cos xdx													.


			sin				2		x 1
			sin						x 1

17.lnx5 x dx .

18.tgxdx .

19.tg 2 xdx .

20.1 cos 2 x sin 2xdx , использовать sin 2x 2sin x cos x .

21.sin 2 x cos xdx .

22.sindxx .

23.sin 3 xdx .

24.sin 2 x cos3 xdx .

25.ctgxdx .

26.cos7 xdx .

27.cos 4 xdx .

28.sin 4 xdx .

29.sin3 x cos 2 xdx .

30.ctg 2 xdx .

Задача 2. Найти неопределенный интеграл

1.arctgxdx .

2.(x 1)e2 x dx .

3.(3x 1) cos xdx .

4.(x3 x 1) ln xdx .

5.2lnxx dx .

6.x ln 2 xdx .

7.(x3 1) ln xdx .

8.(4x 3) cos(6x)dx .

9.(x2 1) ln xdx .

10.(x 5) cos(2x)dx .

11.(x 5) sin(3x)dx .

12.(4x 3)e3x dx .

13.(4x 3) sin(6x)dx .

14.ln(x2 1)dx .

15.x3 ln xdx .

16.(x 1) ln(x 1)dx .

17.xarctgxdx .

18.(x2 3x) ln xdx .

19.(2x 3)e2 x dx .

20.x sin(3x)dx .

21.x2 ln xdx .

22.ln(1 x)dx .

23.xe x 2 dx .

24.x2 cos xdx .

25.arctgxdx .

26. cos 2 x dx .

27. lnxx dx .

28. (x2 3x) ln xdx .

29. x2 e x dx .

30. xe5 x dx .

Задача 3. Найти неопределенный интеграл

1.		dx		.

	x	3	1

2.		dx		.

	x	3	8

3.						dx													.

			x(x					1)				2
			x(x					1)
4.				xdx								.
4.			(x 1)							2		.
			(x 1)
5.						dx															.

			5cos x														3
			5cos x														3
6.									dx																		.

			(x		2	1)(2 x)
			(x			1)(2 x)
7.				(x2				2)dx																			.
7.			(x 1)							2		(x											1)				.
			(x 1)									(x											1)
8.				dx						.

			x	4		1
			x			1
9.					dx								.

			x	4		x				2
			x			x
10.			(x			2 x)dx																				.
10.			x	2																						.
			x			6x 10
11.				(3x2 8)dx																								.
11.			x	3		4x						2								4x								.
			x			4x														4x
12.				(x3 1)dx																							.
12.			x	3		5x						2								6x							.
			x			5x														6x
13.							dx																	.


		sin x cos x
14.					dx												.

			sin x 1
			sin x 1
15.					dx												.

			cos x 1
			cos x 1
16.							dx																		.
16.																									.
		sin x cos x
17.			cos xdx													.
17.																.
			cos x 1
18.			sin xdx											.
18.														.
			sin x 1
19.			sin xdx														.
19.		sin x 2															.
		sin x 2
20.														dx															.

						4sin x
		8				4sin x																	7 cos x
21.	sin(9x) sin xdx .

22.						xdx									.
22.															.
		2				x 3

23.		1				x 2												dx .
23.																		dx .
			x					x
24.			x 2 dx								.
24.											.
				x 1
25.			(3x 2)dx																			.
25.			2																			.
			x(x 1)