4Ход работы
4.1Проверка на нормальность
Известно, что нормальное распределение имеет колоколообразный график, симметричный относительно своего центра. Построим графики параметров X и Y. Очевидно, что полученные графики, отображенные на рисунке 1 не имеют ничего общего с графиком нормального распределения, поэтому преобразуем данные, возведя их в минус первую степень. Взглянув на рисунок 2, станет ясно, что график преобразованных данных похож на график нормального распределения, проверим же это аналитически.
Рис.1. Графики изначальных параметров
Рис.2. Графики преобразованных параметров
Для этого применим критерий согласия Пирсона, иначе известный,
6
как 2. Он задается как:
X
m (n nteor)2
X2 = i i (1)
nteor i=1 i
Разобьем преобразованные данные на интервалы меньшей длины. Для того, что бы определить размер интервала применяется формула:
h = |
Xmax Xmin |
(2) |
|
1 + 3; 32 Ln(n) |
|||
|
|
Где Xmax и Xmin соответственно максимальное и минимальное значение выборки, n - ее размер.
В данном случае, эти параметры отображены на рисунке 3, для переменных типа X’ и переменных типа Y’.
Рис.3. Нахождение длины интервала
После вычисления длины интервала, необходимо задать сами интервалы. Пусть данные записаны в таблицу в следующем виде: номер интервала, левая граница, правая граница, середина интервала, количество попаданий, как это отображено на рисунке 4.
Очевидно, что чтобы вычислить середину интервала необходимо к его нижней границе прибавить половину длины интервала: xcenter = xstart +
(xend xstart)=2.
Количество попаданий в интервал при использовании среды Excel можно вычислить, используя формулу: = (x0 : Xn; a0"; x0 : xn; = b0"), где ai, bi - границы i-го интервала, а x0 : xn - массив переменных X’, на
7
которых выполняется поиск.
Аналогично вычисляется и для переменных Y’.
Рис.4. Интервалы X’ и Y’
В случае, если интервалы не значимые, количество попаданий меньше 5, они объединяются с соседними. На рисунке 6 отображены интервалы после объединения незначимых.
Рис.5. Значимые интервалы X’ и Y’
Как было упомянуто выше, параметр согласия 2 зависит от частоты попадания в интервал. Основываясь на известных данных, найдем эмпирическую и теоретическую частоты. Эмпирическая частота является отношением количества попадений в интервал по отношению к общему количеству данных.
nteori = mi=n(2 )
Теоретическая частота же находится по нормальному распределению. 8
n*НОРМРАСП(ni; xmiddle; ; 1). Где n - количество значений, ni - эмпирическая частота, xmiddle - выборочное средние, - среднеквадратичное отклонение, а 1 - параметр применения интегральной формулы нормального распределения.
Для вычисления выборочного среднего значения используется формула ymiddle = mi). При нормальном распределении выборочное среднее приблизительно равно математическому ожиданию. Далее необходимо вычислить среднеквадратичное отклонение. Оно равно корню из дисперсии. Таким образом, следующий шаг вычислений - дисперсия, при-
2 |
= P |
yi2 mi |
чем xmiddle |
|
|
n |
D = (x2middle x2middle)(3)
На рисунке 6 отображены вычисленные параметры
Рис.6. Параметры для X’ и Y’
m
X
2emp = = (ni nteori )2=nteori (4) i=1
На рисунке 7 отображено вычисление частот и элементов 2emp.
Рис.7. Вычисление частот
9