12/Общее ур-ние Шредингера.

Сама волновая ф-ция физ смысла не имеет. Имеет смысл только определяющая вероятность нахождения частицы в данной области пр-ва. Знаяможно определить: 1) вер-ть нахождения частицы в данной обл пр-ва. (2) Среднее значение любой физ величины. Поэтому основной задачей квантовой механики явл нахождение вида волновой ф-ции и определение физических следствии при разных условиях. Для решения этой задачи служит волновое ур-ние которое написал Ш. Требования к уравнению: 1) Это ур-ние должно включать в себя мировые константы (2) должно быть пригодным для решения любых задач. (3) В него должны входитьино без конкретизации их числовых значении. (4) Силовые поля должны быть записаны в общем виде. (5) Должны вытекать следствия подтверждающие эксперимент. (6)Быть волновым и записано для волновой ф-ции (7) Линейным и однородным, чтобы выполняли принцип суперпоз. волновой ф-ции.

, где- волновая ф-ция описывающая состояние системы и зависящая от координаты и времени. Оператор Лапласа,- масса частицы,силовая ф-ция описывающая поле в котором движется частица.

Если зависит отто называется потенциальной. Ур-ние Ш нельзя вывести но к нему можно прийти. Согласно гипотезе Бролля волновая ф-ция описывающая движение частицы с пост скор () имеет вид;,тогда. Дифференцируем 1 раз по-или. 2 раза по-или. Получим 2 дифференциальных ур-ния : 1-е отражает движение частицы с постоянной скоростью а 2-е -//- с постоянным импульсом.

В классической механике: . Если свободно движется частица.

выражаем изполучаем; Извыразили. В итоге получили:проделанное не явл выводом.

В ур-ний Ш в неявном виде заложена двойственная корпускулярно-волновая природа в-ва, с одной стороны это волновое ур-ние написанное для волновой ф-ции. Согласно статистической интерпретации – частица состоянии которой описывает волновая ф-ция - не локализована в пр-ве, т.е она может находиться где угодно с разной вер-тью, казалось бы что этот факт надо учитывать при написании потенциальной ф-ции, однако в ур-нии Шпринимается в классич виде, т.е берется как ф-ция локализованной частицы. Ур-ние Ш сформулировано для волновой ф-ции и для того чтобы она удовлетворяла ур-нию на нее накладывают условия: 1) должна быть линейной относительно всех возможных решений ур Ш (2)должна быть линейным (3)ф-ция и все ее первые производные должны быть конечны, однозначны и непрерывны. (4)должна быть интегрируема, т.е интеграл должен сходиться.

Если волновая ф-ция удовлетворяет эти требованиям то ур Ш может быть решено если : 1) известен явный вид ф-ции(2) известна волновая ф-ция в начальный момент времени (3) Известно значение волновой ф-ции в граничных точках, тогда ур-ние Ш решено и найденаф-я.

Ур-я Ш для стационарных состоянии.

Стационарное состояние это такое состояние системы при котором все физ величины не зависят от времени. Сама ф-ция не явл наблюдаемой величиной, поэтому она может зависеть от времени ноне может. В стац состоянии волновую ф-цию можно представить в виде произведения 2-х ф-ции одна зависит от координат а другая от времени.. Ур-ние Ш,;,- левая часть зависит от координаты а правая от времени. Это возможнокогда левая и правая части ур-ния, тогда получим,- ф-циязависит от координаты.диф ур-ние.,,;. Т.о в стационарном состоянии полная волновая ф-ция зависит оти может быть представлена, тоявл измеряемой физ величиной не зависящей от времени.- не зависит от времени. Ш показал что ур-ние полностью решает проблему квантования поэтому поднадо понимать полную энергию частицы в стационарном состоянии. Решая ур-ние Ш мы находим собственные волновые ф-ции но решение ур-ния Ш может быть только при определенных значениях. От вида потенциальной ф-циизависит при каких значенияхрешение ур-ния Ш существует. Эти избранные значения энергиисоответствуют ф-иямсоставляющих дискретный энергетический спектр частицы.

Математический аппарат квантовой механики.

Операторы: пусть задано некоторое мн-во ф-ции переменнойимн-во той же переменной, говорят что задан операторесли каждой ф-ции из мн-васопоставляется определенная ф-я из мн-ва.

Заменим на,где,, т.е оператордействует на.

Линейный оператор это оператор который удовлетворяет условиям:

1. 

2. .

Св-ва линейных операторов:

1. Суммой операторовназывают линейный оператор действующий по правилу -

2. называют линейный оператор действующий по правилу

3. называют линейный оператор действующий по правилуздесь не всегда. Коммутатор.