Краткий курс математического анализа. Том 1

5. Пределы неопределенностей типов 0 · ∞ и ∞ − ∞ целесообразно

Предел первого сомножителя в правой части находится непосред-

а предел второго — с помощью правила Лопиталя:

§14. Формула Тейлора

14.1.Вывод формулы Тейлора. Рассмотрим следующую за-

дачу. Пусть функция y = f (x) имеет в точке x0 производные до порядка n включительно. Требуется найти такой многочлен Pn(x) степени не выше, чем n, что

Вслучае n = 1 нам уже известно, что эта задача имеет решение

ичто ее решением является многочлен

190 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

= n bk (x − x0)k . Действительно, положив h = x − x0, использовав

k=0

формулу бинома Ньютона и собрав члены с одинаковыми степенями h, получим

то такое представление единственно.

Пусть наряду с представлением (14.15) имеет место представление

Сократив на x − x0, x = x0, левую часть равенства (14.18) (в нем, как уже доказано, c0 = 0), получим

n−1 ck (x − x0)k−1 + o((x − x0)n−1) = 0, x → x0.

k=1

Перейдя в этом равенстве к пределу при x → x0, x = x0, получим c1 = 0. Продолжая этот процесс после m-го шага, 0 m n, получим

n ck (x − x0)k−m + o((x − x0)n−m) = 0, x → x0,

k=m

отсюда при x → x0 следует, что cm = 0, m = 0, 1, ..., n.

Таким образом, в силу равенств (14.17)

ak = bk , k = 0, 1, ..., n.

Теорема 2 называется обычно теоремой единственности. Из нее следует, что если для n раз дифференцируемой в точке функции f получено представление ее в виде (14.15), то это представление является ее разложением по формуле Тейлора. В самом деле, при сделанных предположениях, согласно теореме 1, такое представление существует, а другого в силу теоремы 2 нет.

Складывая и вычитая соотношения (14.21) и (14.22), после умножения результата на 1/2 получим

192 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

В силу теоремы единственности (см. теорему 2 в п. 14.1) полученные разложения являются разложениями функций ch x и sh x по формуле Тейлора.

Если α=m — натуральное число, то (1 + x)m = Pm(x) + 0, где Pm(x) — многочлен степени m. Отсюда, согласно теореме единственности, следует, что Pm(x) является многочленом Тейлора, и, следовательно, в силу (14.11)

(1 + x)m = 1 + mx + m(m − 1) x2 + ... + xm,

2

т. е. в этом случае формула (14.25) превращается в формулу бинома Ньютона.

5. Пусть f (x) = ln (1 + x); тогда

Действительно, o(xn) = ε(x)xn, где lim ε(x) = 0. Поэтому суще-

x→0

ствует такое δ > 0, что при |x| < δ имеем |ε(x)| 1 и, следовательно,

|axn + o(xn)| = |axn + ε(x)xn| (|a| + 1)|xn|.

Это и означает, что выполняется равенство (14.27).

194 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Представим sin x, согласно формуле Тейлора, в виде

Имеем

x cos x = x(1 + o(x)) = x + o(x2),

√1 + 2x = (1 + 2x)1/2 = 1 + x − 12 x2 + o(x2), ln (1 + x) = x − 12 x2 + o(x2), x → 0.

Поэтому, согласно теоремам 1 и 2 из п. 9.3, с помощью этих соот-

Мы воспользовались здесь тем, что

12 x2 + o(x2) 12 x2 и − 12 x2 + o(x2) −12 x2, x → 0.

3. Найти предел lim (cos x)ctg 2x.

x→0

Заметив, что (cos x)ctg 2x = ectg 2x ln cos x, найдем предел натурального логарифма функции, стоящей под знаком предела, т. е. предел

196 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Пусть теперь функция f возрастает на интервале (a, b) и имеет

в точке x0 (a, b) производную. Возьмем x > 0, тогда

Переходя в этом неравенстве к пределу при

Аналогично теорема 1 доказывается для убывающих функций.

З а м е ч а н и е 1. Как было показано, условие положительности производной на интервале является достаточным условием строгого возрастания. Отметим, что это условие не является, однако, необходимым условием строгого возрастания. Действительно, например, функция f (x) = x3 строго возрастает на всей числовой оси, однако ее производная f (x) = 3x2 не всюду положительна — она обращается

внуль при x = 0 (рис. 82).

15.2.Локальные экстремумы функций. Пусть функция f

задана на некотором множестве X R и x0 X.

О п р е д е л е н и е 1. Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f , если существует такая окрестность U (x0) точки x0, что для всех x X ∩ U (x0) выполняется неравенство

f (x) f (x0) (соответственно f (x) f (x0)).

Если для всех x X ∩ U (x0) и x = x0 выполняется неравенство

f (x) < f (x0) (соответственно f (x) > f (x0)), то точка x0 называется

точкой строгого локального максимума (минимума).

В дальнейшем для простоты точки (строгого) локального максимума и минимума функции будем кратко называть ее точками (строгого) максимума и минимума.

Точки максимума и минимума (строгого) функции называют ее точками экстремума (строгого).

Из теоремы Ферма (см. п. 12.1) для функций, определенных в некоторой окрестности точки, сразу следует необходимое условие локального экстремума в этом точке.

Те о р е м а 2 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке локального экстремума производную, то эта производная равна нулю.