Задание 3. Средние величины

Имеются данные, характеризующие выбросы загрязняющих веществ в 2012 году по районам города:

Район	Выбросы загрязняющих веществ, тысяч тонн	Выбросы загрязняющих веществ в расчёте на одного жителя, кг	Темп роста общего объёма выбросов в 2012 г. по сравнению с 2011 г., %	Доля выбросов без очистки в общем объёме выбросов, %
1	3,3	7,2	110	90
2	9	28,2	118	82
3	1,2	3,7	133	95
4	4,2	9,6	168	96

Рассчитайте показатели в среднем по городу. Укажите, какие виды и формы средних вы использовали.

Решение:

Для расчета показателей используем среднюю арифметическую взвешенную

Средний размер выбросов = (3,3+9+1,2+4,2) / 4 = 4,425 тыс. тонн

Средний размер выбросов на 1 человека = (7,2+28,2+3,7+9,6)/4 = 12,175 кг.

Средний темп роста рассчитывается по формуле среднего темпа роста

Средняя доля выбросов без очистки = (3,3 * 0,9+9*0,82+1,2*0,95+4,2*0,96)/17,7 = 0,877 или 87,7%

Задание 4. Анализ вариации

На основе соответствующих вашему варианту данных определите:

1. Характеристики центра распределения:

− среднее значение признака;

− модальное значение признака;

− медианное значение признака.

2. Показатели размера и интенсивности вариации:

− среднее линейное отклонение;

− дисперсию;

− среднее квадратическое отклонение;

− коэффициент вариации.

3. Показатели формы распределения: коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Постройте гистограмму распределения.

Раскройте содержание всех рассчитанных показателей и их представление на графике.

В лаборатории комбикормового завода произведена контрольная проверка партии пшеницы, поступившей для производства комбикормов, на содержание протеина. В результате получены следующие данные:

Содержание протеина, %	Число проб
6	2
7	5
8	6
9	10
10	19
11	6
12	2
Итого	50

Решение:

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная

%

Максимальное значение повторений при x = 10 (f = 19). Следовательно, мода равна 10

Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Находим x_i, при котором накопленная частота S будет больше ∑f/2 = 26. Это значение x_i = 10. Таким образом, медиана равна 10

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X_max - X_min

R = 12 - 6 = 6 %

Среднее линейное отклонение

%

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 1.16 %

Дисперсия

%

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

%

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 9.3 в среднем на 1.42 %

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

Чаще всего эксцесс оценивается с помощью показателя:

Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (Ex > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) - отрицательный (Ex < 0), т.к. для нормального распределения M₄/s⁴ = 3.

M₄ = 555.29/50 = 11.11

Число 3 вычитается из отношения μ⁴/ σ⁴ потому, что для нормального закона распределения μ⁴/ σ⁴ = 3. Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю. Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом.

Ex < 0 - плосковершинное распределение

Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику Ex/s_Ex

где s_Ex - средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса.

Если отношение Ex/s_Ex > 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным.

Поскольку s_Ex < 3, то отклонение от нормального распределения считается не существенным.