- •Санкт-Петербургский университет управления и экономики
- •2014 Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •Свойства определителей
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •3.2. Раскрытие неопределенности вида
- •3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •3.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •3.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •3.6. Производная сложной функции
- •3.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •3.8. Производная функции, заданной неявно
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •3.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •4.2. Метод интегрирования по частям
- •4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Предел и производная функции одной переменной
- •4. Интегральное исчисление функции одной переменной
Классификация точек разрыва
Определение. Если в точке функцияимеет пределы слева и справа и они равны между собой, а в точке
или функция не определена, то точка называетсяточкой устранимого разрыва функции .
В этом случае функцию можно доопределить в точке так, чтобы она стала непрерывной, т.е. положить
.
Определение. Если в точке функцияимеет конечные пределы слева и справа, причем, то точканазываетсяточкой разрыва функции 1-го рода.
При переходе через точку значение функциипретерпевает скачок, измеряемый разностью.
Определение. Точка называетсяточкой разрыва 2-го рода, если в этой точке хотя бы один из пределов (справа или слева) не существует или равен .
Пример
В точках идля функцииустановить характер точек разрыва.
Решение
Область определения функции . Данная функция непрерывна во всех точках, кроме точеки, которые не входят в область определения функции.
Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:
если , то, тогда предел слева,
если , то, тогда предел справа.
Так как односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то в точке функцияимеет разрыв 1-го рода (скачок функции).
Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:
если , то, тогда,
если , то, тогда.
Так как односторонние пределы равны , то в точкефункцияимеет разрыв 2-го рода.
3.5. Правила дифференцирования
Определение. Производной функции в данной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при , если он существует.
По определению
.
Таблица производных
№ |
|
№ |
|
1 |
, |
10 | |
2 |
11 | ||
3 |
12 | ||
4 |
13 | ||
5 |
14 | ||
6 |
15 | ||
7 |
16 | ||
8 |
17 | ||
9 |
18 |
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной равна нулю: .
2.
Теорема. Если каждая из функций идифференцируема в данной точкех, то сумма, разность, произведение и частное (частное при условии ) так же дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:
1) ,
2) ,
3) .
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
.
Пример
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции .
Решение
3.6. Производная сложной функции
Пусть дана сложная функция гдеили.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке, а функциядифференцируема в точке, тогда сложная функциядифференцируема в точке, причем
или
Замечание. Теорема может быть обобщена на случай любой конечной цепочки функций. Так, если , илии существуют производные, то.
Пример
Найти производную функции .
Решение
Здесь ,
, тогда .
3.7. Метод логарифмического дифференцирования
Метод логарифмического дифференцирования удобен для нахождения производной показательной функции , показательно – степенной функции, а также, если функция представляет собой выражение вида. Этот метод состоит в следующем: данное выражение сначала логарифмируют по основаниюе, а затем дифференцируют как тождество, получая уравнение для нахождения производной.
Пример
Найти производную функции применяя метод логарифмического дифференцирования.
Решение
Здесь основание и показатель степени зависит от х. Логарифмируем обе части равенства по основаниюе:
,
применяя свойства логарифмов, получим
.
Продифференцируем обе части последнего равенства по х, рассматривая у как функцию х:
,
умножим обе части равенства на у и подставим вместо у его выражение , получим
.