![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Санкт-Петербургский университет управления и экономики
- •2014 Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •Свойства определителей
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •3.2. Раскрытие неопределенности вида
- •3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •3.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •3.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •3.6. Производная сложной функции
- •3.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •3.8. Производная функции, заданной неявно
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •3.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •4.2. Метод интегрирования по частям
- •4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Предел и производная функции одной переменной
- •4. Интегральное исчисление функции одной переменной
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
3.1. Раскрытие неопределенности вида .
Рассмотрим
отношение функций
.
Пусть
– бесконечно большие функции (б.б.ф.)
при
,
отношение
в этом случае называется неопределенным
выражением вида
.
Для нахождения предела неопределенного
выражения нужно избавиться от
неопределенности (или раскрыть
неопределенность).
Чтобы раскрыть
неопределенность вида
,
заданную отношением двух многочленов,
надо числитель и знаменатель разделить
на самую высокую входящую в них степень,
а затем перейти к пределу.
Пример 1
,
так
как при
каждая из дробей
стремится к нулю.
Пример 2
.
Пример 3
.
Замечание.
Из рассмотренных примеров видно, что
предел частного двух многочленов при
равен отношению коэффициентов при
старших членах, если степени многочленов,
стоящих в числителе и знаменателе,
равны; равен нулю, если степень числителя
меньше степени знаменателя; равен,
если степень числителя больше степени
знаменателя.
3.2. Раскрытие неопределенности вида
Рассмотрим отношение
функций
.
Пусть
– бесконечно малые функции (б.м.ф.) при
,
отношение
в этом случае называется неопределенным
выражением вида
.
Чтобы раскрыть
неопределенность вида
,
заданную отношением двух многочленов,
надо в числителе и знаменателе выделить
критический множитель и сократить на
него.
Чтобы
раскрыть неопределенность вида
,
в которой числитель или знаменатель
содержит иррациональность, следует
избавиться от иррациональности, домножив
числитель и знаменатель на сопряженное
выражение.
Пример
Вычислить предел
.
Решение
При
числитель и знаменатель дроби стремится
к нулю, т.е. имеет место неопределенность
вида
.
Для раскрытия неопределенности числитель
и знаменатель дроби умножим на сопряженное
знаменателю выражение, т.е. на сумму
,
а квадратный трехчлен
разложим на множители, найдя для этого
его корни:
,
тогда,
.
Таким образом, получим:
.
3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
Одна из форм записи второго замечательного предела
.
Второй замечательный
предел раскрывает неопределенность
вида
.
Пример
Вычислить предел
.
Решение
Предел основания
,
а показатель степени
при
,
т.е. имеет место неопределенность вида
.
Выделим целую часть основания степени
и применим второй замечательный предел:
,
учитывая, что
.
3.4. Непрерывность функции
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
.
Определение.
Функция
называетсянепрерывной
в точке
,
если она имеет предел в точке
и этот предел равен
– значению функции
в точке
:
.
Таким образом, для
того чтобы функция
была непрерывна в точке
,
необходимо и достаточно выполнение
трех условий:
функция
должна быть определена в точке
;
должны существовать пределы функции
при
как слева, так и справа, т.е.
и
;
эти пределы должны быть равны между собой и равны значению функции
в точке
, т.е.
.
Если
хотя бы одно из этих условий не выполнено,
то говорят, что функция
имеет разрыв в точке
и точку
называютточкой
разрыва
функции
.
Точки разрыва следует искать среди точек, не входящих в область определения функции.