- •Санкт-Петербургский университет управления и экономики
- •2014 Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •Свойства определителей
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •3.2. Раскрытие неопределенности вида
- •3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •3.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •3.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •3.6. Производная сложной функции
- •3.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •3.8. Производная функции, заданной неявно
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •3.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •4.2. Метод интегрирования по частям
- •4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Предел и производная функции одной переменной
- •4. Интегральное исчисление функции одной переменной
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
Функция называется первообразной для функциина интервале, конечном или бесконечном, если в любой точкеэтого интервала функциядифференцируема и имеет производную.
Совокупность всех первообразных для функции , определенных на интервале, называетсянеопределенным интегралом от функции на этом интервале и обозначается символом
.
Метод подведения под знак дифференциала следует из свойства инвариантности неопределенного интеграла.
Пусть дан интеграл . Справедливо равенство
,
где – некоторая непрерывно дифференцируемая функция.
Таблица интегралов
1. |
8. |
2. |
9. |
3. |
10. |
4. |
11. |
5. |
12. |
6. |
13. |
7. |
14. |
15. |
При интегрировании методом подведения под знак дифференциала необходимо иметь в виду следующие равенства:
В общем случае
.
Пример 1
Найти интеграл.
Так как , то
.
Пример 2
Найти интеграл .
Так как , то
.
Пример 3
Найти интеграл .
Так как , то
Пример 4
Найти интеграл .
Так как, то
.
4.2. Метод интегрирования по частям
Пусть дан интеграл вида , где- непрерывно дифференцируемые функции. Справедлива формула интегрирования по частям
.
Таким образом, вычисление интеграла приводится к вычислению интеграла, который может оказаться более простым или табличным.
Пусть - многочлен степениn. Методом интегрирования по частям можно вычислить, например, интегралы вида:
1 группа: |
2 группа: |
Пример
Найти интеграл .
Решение
Положим , найдем,. Так как достаточно взять одну из первообразных, то принимаем. Применим формулу интегрирования по частям
.
4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
Рассмотрим интеграл вида гдеR – рациональная функция своих аргументов.
Универсальная подстановка сводит данный интеграл к интегралу от рациональной дроби, при этом
, ,.
Итак:
Пример
Найти интеграл .
Решение
Применим универсальную подстановку
,
получим
4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
Пусть функция определена и непрерывная на отрезкеи пусть, для определенности,
Разобьем отрезок наn частей произвольным образом точками деления: . Выберем на каждом частичном промежуткепроизвольным образом точки.
Обозначим Составим сумму, которая называетсяинтегральной суммой для функции на отрезке.
Обозначим длину наибольшего частичного промежутка через Перейдем к пределу при.
Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения отрезкана частичные и выбора на них точек, то он и называетсяопределенным интегралом от функции на отрезкеи обозначается
Если – любая первообразная для функции, то справедливаформула Ньютона – Лейбница:
,
т.е. для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Пример 1
Если точисленно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой,
прямыми и осьюох:
Если меняет знак конечное число раз на отрезке, то интеграл по всему отрезку разбивается на сумму интегралов по частичным отрезкам, интеграл будет положителен там, гдеи отрицателен, где:
.
Пусть нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми ии прямыми, тогда при условииимеем
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и.
Решение
у у=х+3
у=х2+1 3
–3 –1 0 2 х
|
Найдем точки пересечения: , |
.
Краткое содержание (программа) курса