![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Санкт-Петербургский университет управления и экономики
- •2014 Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •Свойства определителей
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •3.2. Раскрытие неопределенности вида
- •3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •3.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •3.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •3.6. Производная сложной функции
- •3.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •3.8. Производная функции, заданной неявно
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •3.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •4.2. Метод интегрирования по частям
- •4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Предел и производная функции одной переменной
- •4. Интегральное исчисление функции одной переменной
3.8. Производная функции, заданной неявно
Дифференцирование функций, заданных неявно, опирается на возможность почленного дифференцирования тождеств.
В общем случае уравнение почленно дифференцировать нельзя.
Пусть
функция
задана неявно уравнением
и известно, что существует решение этого
уравнения в виде
;
подставив это решение в уравнение,
получим тождество
.
Продифференцировав
пох,
получим уравнение для нахождения
производной
.
Пример
Найти производную
функции, заданной неявно:
.
Решение
Продифференцируем обе части данного уравнения по аргументу х:
3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть
функция
задана параметрически уравнениями
- параметр.
Требуется
найти производную
.
Имеет место формула
или
.
Пример
Найти
производную функции, заданной
параметрически:
.
Решение
Найдем производные функций х и у по переменной t:
,
.
Согласно
формуле
,
получим
.
3.10. Исследование функций и построение графиков функций
Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика включает следующие этапы решения задачи:
Найти область определения функции.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
Определить четность, нечетность.
Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.
Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума.
Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.
Построить график функции.
Пример
С помощью методов
дифференциального исчисления исследовать
и построить график функции
.
Решение
Область определения функции находится из условия:
, т.е.
.
Точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью Оу,
,
точка
,
с осью Ох,
,
точка
.
Четность, нечетность.
Функция
называется четной, если для любогох
из области определения справедливо
равенство
.
Функция
называется нечетной, если для любогох
из области определения справедливо
равенство
.
Если не выполнено ни одно из равенств,
то функцию называют функцией общего
вида.
В нашем случае,
,
следовательно, функция нечетная, а ее
график симметричен относительно начала
координат.
Точки разрыва функции и асимптоты графика функции.
1) Вертикальные
асимптоты. Прямая
является вертикальной асимптотой
графика функции
,
если хотя бы один из пределов
или
равен
или
.
Таким образом, для нахождения вертикальных
асимптот следует найти все точки разрыва
2-го рода данной функции. Если точек
разрыва нет, то нет и вертикальных
асимптот.
Заданная функция
имеет две точки разрыва второго рода
и
,
так как
,
,
,
,
следовательно,
график функции имеет две вертикальных
асимптоты
и
.
2) Горизонтальные
асимптоты. Горизонтальная
асимптота – частный случай наклонной
асимптоты, когда
.
Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, нужно найти пределы:
.
Если эти пределы
конечны и различны, то прямые
будут горизонтальными асимптотами.
Если какой-либо из этих пределов не
существует или равен
,
то не существуют и соответствующие
асимптоты.
Так как
,
то график функции
имеет горизонтальную асимптоту
.
3) Наклонные
асимптоты. Пусть прямая
является асимптотой графика функции
.
Такую асимптоту называютнаклонной.
Для того, чтобы график функции
имел при
наклонную асимптоту
,
необходимо и достаточно, чтобы существовали
оба предела:
.
Аналогично находится
асимптота при
.
Так как
,
то наклонных асимптот нет.
Исследование функции на экстремум.
Для определения интервалов возрастания и убывания функции и ее точек экстремума найдем первую производную:
.
Найдем критические
точки, т.е. точки, в которых производная
равна нулю или не существует, для чего
приравниваем числитель
к
нулю:
,
т.е. вещественных корней нет, следовательно,
точек экстремума нет. Так как производная
отрицательна во всей области определения
функции, то она всюду убывает в этой
области.
_
_ _
х
-6
6 у
Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.
Вычислим производную второго порядка:
Необходимое
условие точки перегиба:
или не существует. Равенство
выполняется при
,
следовательно, эта точка является
«подозрительной» на точку перегиба.
Определим знак второй производной на
всей числовой оси и укажем на ней
интервалы выпуклости и вогнутости
функции.
_
+ _ +
х
-6
0
6
у
Так как при переходе
через точку
вторая производная меняет знак, то точка
с абсциссой
является точкой перегиба. Итак, точка
перегиба имеет координаты
.
Построение графика функции.
Контрольная работа № 4. Интегральное исчисление функции одной переменной
Найти интеграл
.
Найти интеграл
.
Найти интеграл
.
Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
,
.