2.2. Методические указания и решение типового варианта контрольной работы № 4 Элементы теории поля

Основными понятиями являются: градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция.

Определение:Полем называется область некоторого пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины.

Определение: Если каждой точке М областиVсоответствует определенное число=(М), то говорят, что в областиVзадано скалярное поле.

Определение: Если каждой точке М из областиVсоответствует некоторый вектор, то говорят, что задано векторное поле.

Если функция (М) () не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным, а поле, которое меняется с течением времени, называется нестационарным.

В трехмерном пространстве каждой точке М области можно поставить в соответствие либо ее координаты (х, y, z), либо радиус-вектор . Следовательно, скалярное поле можно задать как функцию трех переменных  (х, y, z) или как функцию одной переменной  ().

Определение:Множество точек поля, в которых скаляримеет одно и то же значение, называется поверхностью уровня поля(х,y,z) = С, гдеC=const.

Так как функция поля однозначна, то через каждую точку поля М (х₁,y₁,z₁) проходит единственная поверхность уровня(х,y,z) =( х₁,y₁,z₁).

Пусть М – произвольная точка пространства, где задано поле =(х,y,z). Производной функциив точке М в направлении любого вектораназывается предел отношения приращения=(М₁) –(М) кr, приr0 (М₁М), т. е.

, обозначают .

Производная характеризует скорость изменения функции (поля) в заданной точке М в направлении вектора .

Если > 0, то функциявозрастает в направлении вектора, если< 0, то функцияубывает в направлении вектора.

 –есть мгновенная скорость функции в направлении вектора.

=++, где,,– направляющие косинусы вектора.

Определение: Градиентом функции(х,y,z) обозначаютgrad, называют вектор, координатами которого являются значения частных производных функции(х,y,z) в точке М (х,y,z):

grad=++, где,,– единичные векторы, илиgrad=(;;).

Направление градиента совпадает с направлением наибыстрейшего роста функции (поля), следовательно, наибольшая скорость изменения поля в точке М равна

grad=.

Перечислим свойства градиента.

Теорема: Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

1) grad(u + v) = gradu + gradv,

2) grad(cu) = cgradu, c = const,

3) grad(uv) = u gradv + v gradu,

4) grad= ,

5) gradF(u) = .

Векторное поле

Определение:Векторной линией поляназывается линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора поля. Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Векторная линия описывается системой

.

Пусть векторное поле образовано вектором . К понятию векторного поля приводит физическая задача, изучающая поля скоростей текущей жидкости. Некоторая поверхностьzнаходится в этом потоке и пропускает жидкость. Найдем количество жидкости, протекающей через поверхностьz. Разобьем эту поверхность наnчастичных областей произвольным образомS₁,S₂, ... ,S_n и выберем в каждой части области некоторую точку М_i, в которой построим единичный вектор нормали. За единицу времени черезS_iпротекает количество жидкости, приближенно равное, где– высотаi-того цилиндра, а– площадьi-той площади. Ноявляется проекцией векторана нормаль:, следовательно, общий объем жидкости, протекающий через поверхностьSза единицу времени, равен приближенно:. Точное значение этой величины получим, перейдя к пределу при неограниченном увеличении числа частичных площадок. Если– диаметр площади, то

.

Определение: Предел суммы элементарных потоков через частичные области, на которые разбивается областьS, когда число частичных областей неограниченно растет при условии, что наибольший из диаметров площади неограниченно убывает, называется потоком векторного полячерез поверхностьS.

Определение:Потоком векторачерез поверхностьSназывается интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности

или .

Замечание. Поток вектораесть величина скалярная, равная объему жидкости, протекающей через поверхностьSза единицу времени.

Если поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем, то , в этом случае за направление вектораберут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри. Так как, то.

Дивергенция векторного поля

Определение: Дивергенцией векторного поляв точке М называется скаляр вектора видаи обозначаютdiv

div(M) =.

Свойства дивергенции:

1. div= 0, если– постоянный вектор,

2. div= сdiv, где с =const,

3. div= div+ div,

4. div= div+div, если– скалярная функция.

Замечание.Формула Остроградского – Гаусса, с использованием понятий потока и дивергенции векторного поля, запишется так:

= .

Формула Остроградского – Гаусса показывает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S(в направлении векторной нормали) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объемуV, ограниченного данной поверхностью.

=, по теореме о среднем для тройного интеграла имеем:, приполучим.

Определение: Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через поверхностьS, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что поверхность стягивается в точку М.

Циркуляция и вихрь векторного поля

Рассмотрим в поле линиюLи выберем на ней направление. Для произвольной точки М кривой запишем радиус-вектор, векторбудет направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода.

Определение: Циркуляцией вектора вдоль кривойL называется криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора на(касательный кL)

,

или, учитывая, что , получим, где– проекция векторана касательную, проведенную в направлении обхода.

Физический смысл циркуляции состоит в том, что если кривая Lрасположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силыполя при перемещении материальной точки вдольL.

Замечание. Циркуляция отлична от нуля вдоль замкнутой линии, так как в каждой точке векторной линиисохраняет значение: положительное, если направлениесовпадает с направлением обхода линии; отрицательное – в противоположном случае.

Определение: Вихревым вектором или ротором векторного поляназывается вектор, определяемый равенством.

Или .

Свойства ротора:

1. , если – постоянный вектор,

2. , где с = const,

3. ,

4. , где – скалярная функция.

Формула Стокса примет вид:

–это векторная форма формулы, которая показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контураLравна потоку ротора этого векторачерез поверхностьS, лежащую в поле вектораи ограниченную контуромL.

Так как по теореме о среднем, то.

Если контур Lстягивается в точку М, тои.

Замечание.Направление ротора – это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадкеS. Поэтому связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению.

Оператор Гамильтона

Определение: Векторными операциями первого порядка называется взятие градиента, дивергенции и ротора.

Оператор Гамильтона (символический вектор) имеет вид:

.

С помощью оператора Гамильтона основные дифференциальные операции можно записать так:

,

,

,

,

.

Задача.Вычислить координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями:

Решение: Данное тело симметрично относительно оси ОY, поэтомуx_c =z_c = 0 (т. е. центр симметрии находится на оси ОY). Ордината центра масс найдется по формуле:

.

Перейдем к цилиндрическим координатам: ,,, тогда

1) . Для нахождения пределов интегрирования найдем проекцию области на плоскостьOXZ, получим, следовательно,,,. Получим кратный интеграл

= = 16;

2) = =;

3) .

Итак, центр масс С (0; ; 0).

Задача. Вычислить производную функцииZ=arctg(хy) в точке М₀ (1,1) вдоль кривой у = х², в положительном направлении оси ОХ.

Решение:Если функцияu=f(x,y,z) определена в окрестности точки М (х₀, у₀,z₀), то производная функции по направлению вектораопределяется по формуле:

где – направляющие косинусы вектора.

Производной вдоль кривой Lназывают производную по направлению ориентированной касательной к кривой, вычисленную в точке касания.

За направление параболы у = х² в точке М₀ (1,1) возьмем направление касательной к параболе в этой точке, задаваемой углом, который касательная образует с осью ОХ. Тогда

так как и, то

; .

Найдем частные производные функции, U=arctg(xy), в точке М (1,1):

; .

Поверхностный интеграл первого рода определяется равенством

при условии существования предела, где S_i– элемент поверхностиS,S_i – диаметр частичных поверхностей,S_i – площади частичных поверхностей. Для вычисления поверхностного интеграла применим формулу:гдеD– проекция поверхностиSна плоскости ОХУ является однозначной, тогдаF(x,y) =Z– уравнение поверхности.

Задача.Вычислить, гдеS– часть конической поверхности х² + у² =z², расположенной между плоскостямиZ= 0 иZ= 2.

Решение:Из уравнения поверхности находим, при 0Z 2; проекцией этой поверхности на плоскость ОХYявляется круг х² + у² 4.

;

Z

Y

2

2

X

.

Перейдем к полярным координатам , получим:

.

Если S – гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая V и Р = Р (х, у, z), Q = Q (x, y, z),R=R(x,y,z) – непрерывные функции вместе со своими частными производными первого порядка, то имеет место формула Остроградского – Гаусса:

или

(*)

Задача.Вычислить:, еслиS– поверхность, ограниченная плоскостямиx= 0,y= 0,z= 0,x+ 2y+ 3z= 6.

По формуле Остроградского – Гаусса имеем: , так какP(x, y, z) = x + yи,Q(x,y,z) =y+zи,R(x,y,z)=z+xи, следовательно,, геометрически последний интеграл выражает объем областиV(тетраэдра), ограниченный координатными плоскостями и плоскостью х + 2у + 3z= 6, или в отрезках уравнение плоскости имеет вид:.

Задача.Вычислить поток векторного полячерез верхнюю часть плоскости х + 2у + 3z– 6 = 0, расположенной в первом октанте.

Решение:ВыразимZиз уравнения плоскости:, тогда.

Вычислим поток, пользуясь формулой

=

Так как проекцией плоскости х + 2у + 3z– 6 = 0 на плоскости ОХYявляется треугольник, ограниченный прямыми у = 0, х = 0 и х + 2у = 6, то 0(см. рисунок), то

Задача. Вычислить дивергенцию векторного поля

в точке М₀(1, –2, 3).

Решение:

Так как , то точка М₀является источником поля.