Дифференциал функции в точке

Определение:Дифференциалом функциив точке х₀называется главная линейная часть приращения этой функции, зависящая линейно от приращения.

Дифференциал функции равен . Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с величиной, поэтому это обстоятельство используют для приближенных вычисленийоткуда.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ролля:Если функция

1. непрерывна на отрезке ,

2. дифференцируема внутри этого отрезка,

3. имеет равные значения на концах отрезка, т. е. , то существует хотя бы одна точкаx=c(a<c<b) такая, что.

Теорема Лагранжа:Если функция

1. непрерывна на отрезке ,

2. дифференцируема на (а, в), то существует хотя бы одна точка x=c(a<c<b), для которой выполняется равенство:.

Теорема Коши:Если две функциии

1. непрерывны на отрезке ,

2. дифференцируемы на (а, в), причем , то найдется такая точкаx=c(a<c<b), для которой выполняется равенство.

Если иилии, то при вычислении предела отношения этих функций будем получать неопределенности вида, . Для раскрытия этих неопределенностей используют правило Лопиталя. Если функциииудовлетворяют условиям теоремы Коши, в окрестности точкисуществует, то существует и предел, и эти пределы равны=.

Методы исследования функций и поведения их графиков.

Признаки возрастания функции (убывания функции)

• Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на некотором отрезке, то производная на этом отрезке неотрицательна (неположительна), т. е..

• Если непрерывная функция дифференцируема и имеет положительную (отрицательную) производную на отрезке, то она возрастает (убывает) на этом отрезке.

Определение:Точки, в которых производная первого порядка обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.

Теорема (необходимый признак локального экстремума):Если функцияимеет в точкеэкстремум, толибоне существует.

Теорема (первый достаточный признак локального экстремума): Пусть являетсянепрерывной на, причем– критическая точка, функция является дифференцируемой во всех точках(кроме, может быть, самой), тогда: еслидля всехидля всех, то в точкефункцияимеет максимум. Если для всехидля всех, то в точкефункция имеет минимум.

Теорема (второй достаточный признак экстремума): Пусть функциядважды дифференцируема и– критическая точка, тогда если, то– точка минимума; если, то– точка максимума функции.

Теорема (достаточное условие выпуклости графика функции):Если во всех точках интервалапроизводная второго порядка функцииотрицательна (положительна), т. е.(), то кривая выпукла вверх (вниз) на этом интервале.

Теорема (достаточный признак точки перегиба):Если в точкеилине существует и при переходе через эту точку производнаяменяет знак, тоявляется точкой перегиба.

Определение:Прямая называется асимптотой данной кривой, если расстояние от точки М кривой до прямой, при удалении точки М в бесконечность, стремится к нулю.

Если , то– вертикальная асимптота.

Если существуют пределы: и, то прямая– наклонная асимптота графика функции. Еслиk= 0,y=b– горизонтальная асимптота.

Примерная схема исследования функций

Для исследования функции и построения графика надо:

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика с осями координат, вертикальные асимптоты.

3. Исследовать функцию на четность, периодичность.

4. Исследовать на монотонность и найти экстремумы.

5. Найти интервалы выпуклости, точки перегиба.

6. Найти асимптоты графика.

7. Построить график функции.

Задача.Исследовать функциюи построить график.

Решение:Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кромеx= 2; прямаяx= 2 является вертикальной асимптотой графика функции, так как.

1. Функция принимает все положительные значения, кроме y= 1, так какпри.

2. ;но– точка разрыва.

Х

3) Функция экстремумов не имеет и возрастает на каждом из промежутков.

4) Промежутки выпуклости функции:

;

при и– точка перегиба.

5) Так как , то– горизонтальная асимптота графика функции,– точка перегиба.

На основании проведенного исследования можно построить график.

Х