Контрольная работа № 3

Задание № 3.1.Вычислить приближенно по формуле трапеций (1–5) и по формуле Симпсона (6–10) следующие интегралы:

1. ; 6.;

2. ; 7.;

3. ; 8.;

4. ; 9.;

5. ; 10..

Задание № 3.2.Разложить в степенной ряд решение дифференциального уравнения и найти первые три члена разложения.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Задание № 3.3.Найти область сходимости степенного ряда.

1.; 6. ;

2. ; 7. ;

3.; 8. ;

4. ; 9. ;

5.; 10.

Задание № 3.4.Вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд.

1.6.;

2.; 7.;

3.8.;

4.; 9.;

5.; 10..

Задание № 3.5. Решить систему дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения.

1.6.

2.7.

3.8.

4.9.

5.10.

Задание № 3.6.Найти разложение в степенной ряд по степенямxрешения дифференциального уравнения, записать первые три, отличных от нуля, члена разложения.

1. y' = e^3x + 2xy², y(0) = 1;

2. y' = x + e^y, y(0) = 0;

3. y' = х² + 2у², у(0) = 0,2;

4. y'= х² + ху + у², у(0) = 0,5;

5. y'= 2cosx–xy², у(0) = 1;

6. y'= х + х² + у², у(0) = 1;

7. y'= х²у² + у, у(0) =¹/₂ ;

8. y'= ху – у², у(0) = 0,2;

9. y'= х^х + 2у², у(0) = 0;

10. y'= ху + е^х, у(0) = 0.

Задание № 3.7.Решить задачу путем составления дифференциального уравнения.

1. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А (2, 4) и обладающей следующим свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равна кубу абсциссы точки касания.

2. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А (1, 5) и обладающей свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равна утроенной абсциссе точки касания.

3. Записать уравнения кривых, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, равную ²/₃абсциссы точки касания.

4. Записать уравнения кривых, для которых расстояние от любой касательной до начала координат равно абсциссе точки касания.

5. Записать уравнения кривых, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.

6. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А (0, –2), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равен утроенной ординате этой точки.

7. Записать уравнения кривых, для которых отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

8. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А (1, 2), если известно, что произведение углового коэффициента касательной в любой ее точке и суммы координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки.

9. Записать уравнения кривых, для которых длина отрезка, отсекаемого касательной на оси ОY, равна квадрату абсциссы точки касания.

10. Записать уравнение кривой, каждая касательная к которой пересекает прямую у = 1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.

Приложение 4

Контрольная работа № 4

Задание № 4.1.Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего областьV, ограниченную указанными поверхностями.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. .

10. 

Задание № 4.2. Вычислить: 1) производную по направлению вектора; 2) найти величину и направление наибыстрейшего изменения функции в точке М₁.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Задание № 4.3.Вычислить поток векторного полячерез внешнюю поверхность пирамиды, образуемой плоскостьюи координатными плоскостями: а) по определению; б) с помощью формулы Остроградского – Гаусса.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание № 4.4. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости с координатными при положительном направлении обхода относительно нормали плоскости , с помощью формулы Стокса.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Приложение 5