- •Сахалинский государственный университет
- •Никитина Алла Борисовна, Чан Сун Нами
- •Программа курса «Математика»
- •Раздел 6. Дифференциальное исчисление функций
- •Раздел 7. Элементы интегрального исчисления
- •Раздел 8. Элементы теории рядов
- •Раздел 9. Элементы теории дифференциальных уравнений
- •Раздел 10. Элементы теории поля
- •1.2. Методические указания и решение типового варианта
- •Предел функции в точке
- •Дифференциал функции в точке
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Методы исследования функций и поведения их графиков.
- •Функция двух переменных
- •1.3. Вопросы для контроля
- •Раздел 2. Математический анализ
- •2.1. Методические указания и решение типового варианта контрольной работы № 3
- •2.2. Методические указания и решение типового варианта контрольной работы № 4 Элементы теории поля
- •2.3. Вопросы для контроля
- •Раздел 3. Теория вероятностей
- •3.1. Методические указания и решение типового варианта
- •Контрольная работа № 1 по теме: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»
- •Контрольная работа № 2
- •Контрольная работа № 3
- •Контрольная работа № 4
- •Контрольная работа № 5
- •Значение функции Пуассона
- •Список литературы
Функция двух переменных
Если каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из некоторой областиD (x, y) соответствует единственное числоZ, тоZназывают функцией двух переменныхxиy, xиy– независимые переменные или аргументы,D – область определения функции Z, пишут.
Определение:ЧислоBназывают пределом функциив точке, если для любогосуществует, такое, что при всехxиy, удовлетворяющих условиями, справедливо неравенство. Пишут.
Определение: Частной производной по переменнойxфункцииназывают предел отношения:,aпо переменнойy–; где,
. Обозначают ,,,.
Задача.Для функциинайти частные производные функции.
;
.
Частные производные второго порядка функции имеют вид:
;
;
;
.
Задача. Найти частные производные второго порядка функции.
Решение: .
,
очевидно, что =.
Теорема (необходимое условие экстремума):Если точкаявляется точкой экстремума функции, тоили хотя бы одна из них не существует. Точки, для которых это условие выполняется, называются стационарными.
Теорема (достаточное условие экстремума):Пустьимеет непрерывные частные производные до третьего порядка в области, содержащей стационарную точку. Тогда:
если, то– является точкой экстремума, причем если А < 0 (С < 0), то– точка максимума, если А > 0 (С > 0), то– точка минимума;
если , то в точкенет экстремума;
если , то экстремум может быть, а может и не быть. Необходимо дополнительно исследовать функцию.
Где ,,,в точке.
Задача. Исследовать функциюна экстремум.
1) Найдем стационарные точки , . Пользуясь необходимыми условиями экстремума, найдем стационарные точки:
,
откуда .
2) Исследуем точки и, для этого составим
, ,,., так как, то в точкенет экстремума., так каки А > 0, то точка– точка минимума., (А = 6 > 0).
1.3. Вопросы для контроля
Определители второго и третьего порядка.
Правила вычисления определителя третьего порядка: разложение по строке (по столбцу), Саррюса, треугольника.
Решение систем трех линейных уравнений методом Крамера.
Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы.
Обратная матрица. Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным способом.
Теорема Кронекера – Капелли. Решение произвольной системы линейных уравнений.
Скалярные и векторные величины. Задание вектора в координатной форме. Модуль вектора.
Скалярное произведение векторов. Его свойства.
Угол между векторами. Условия ортогональности и коллинеарности двух векторов.
Векторное произведение векторов и его свойства.
Смешанное произведение векторов.
Прямая на плоскости. Ее различные уравнения.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Кривые второго порядка: эллипс – вывод канонического уравнения.
Гипербола. Вывод канонического уравнения.
Парабола. Вывод канонического уравнения.
Плоскость в пространстве.
Взаимное расположение двух плоскостей.
Прямая в пространстве, способы задания прямой.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Поверхности второго порядка: сфера, цилиндрические поверхности, конические уравнения поверхностей второго порядка.
Функция. Определение, область определения, множество значений.
Способы задания. Основные элементарные функции, их графики.
Основные классы функций.
Числовая последовательность. Предел последовательности.
Предел функции в точке и на промежутке.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентные бесконечно малые.
Раскрытие неопределенностей вида ,,.
Первый и второй замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке и на промежутке.
Классификация точек разрыва.
Связь предела функции в этой точке с непрерывностью функции.
Производная функции. Геометрический смысл.
Таблица производных. Правила нахождения производных функций.
Дифференциал. Правила дифференцирования.
Приложения производных и решение задач.Уравнения касательной и нормали к кривой в точке.
Основные теоремы дифференциального исчисления функции одной переменной: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.
Правило Лопиталя.
Исследование функции с помощью производной.
Функции нескольких переменных. Область определения, график.
Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных.
Частные приращения и производные.
Экстремумы функции двух переменных.