1.2. Методические указания и решение типового варианта

контрольной работы № 2

Предел функции в точке

Определение:Последовательностью называется функция натурального аргумента,,,…,,…,,… . Причем если, тоследует за, независимо от того, больше он его или меньше.

Последовательность чисел называется сходящейся к числу , если для любого положительного, сколь угодно малого числа(эпсилон) найдется такой номер, что для всех номеровбудет выполняться неравенство. Пишут .

Геометрический смысл предела последовательности состоит в том, что за пределами – окрестности точкинаходится лишь конечное число членов последовательности, а внутри этой окрестности находится бесконечное множество членов последовательности и причислобудет сгустком точек, соответствующих членам последовательности.

Определение:Числоназывается пределом функциив точке, если для любогосколь угодно малого положительного числанайдетсяположительное число(дельта), что для всех, удовлетворяющих неравенству, выполнится неравенство.

Пишут .

Теоремы о пределах функций: если существует и, то

1. ;

2. ;

3. ;

4. при .

При вычислении пределов используются два замечательных предела:

1. (первый замечательный предел);

2. (второй замечательный предел).

Определение:Функцияназывается бесконечно малой в точке, если.

Определение:Функцияназывается бесконечно большой в точке, если.

Теорема:Если– бесконечно большая функция, то– бесконечно малая функция. Если– бесконечно малая и– бесконечно малая функция в точкеи, тоиэквивалентны. Пишут~.

Примеры.Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1. . Разделим числитель и знаменатель на высшую степень х, т. е. на ,;

2. . Выделим в знаменателе дроби критический множитель :;

3. ;

4. 

= .

Определение:Функцияназывается непрерывной в точке, если существует предел функции в точке, равный значению функции в точке, т. е..

Иными словами, функция непрерывна в точке , если выполняются равенства:

(*)

Односторонние пределы функции в точке равны значению функции в точке.

Определение:Точканазывается точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, но неравные односторонние пределы функции в точке. Разность между правым и левым пределами называется скачком.

Определение:Точканазывается точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равенили не существует.

Определение:Точканазывается точкой разрыва устранимого, если существует предел функции в этой точке, не равный значению функции в точке.

Пример.Исследовать функцию на непрерывность и построить график:

.

Решение:Функцияявляется непрерывной на каждом из промежутков, поэтому подозрительными на разрыв являются точкии. Исследуем каждую точку.

1. . Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции при

,

значение функции в точке равно:. Следовательно, в точкефункция является непрерывной, так как .

2. 

.

Так как односторонние пределы конечны, но не равны, то точка является точкой разрыва первого рода.

Скачок равен .

Определение:Пусть функциязадана на некотором множестве. Зафиксируем значение аргументаи придадим ему приращение, не выводящее значение аргумента за пределы множества, т. е.. Тогда соответствующее приращениеполучит и сама функция, которое равно разности нового и старого значений функции:. Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при, то он называется производной функции в точке. Пишут, или. (6)

Если существует во всех точках множества, тоявляется функцией от.

Таблица производных основных элементарных функций

Если является дифференцируемой, то выполняются равенства:

1. где

2. где

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. .

Основные правила дифференцирования:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. Если и, т. е., то, гдеи и φ – дифференцируемы.

8. Если для функции существует обратная дифференцируемая функция, то.

Задача.Найти производную функции

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение:

1)

поэтому по формуле (8) (см. таблицу производных)

.

2)

3)

.

4)

Определение:Производной второго порядка функцииназывается производная от первой производной, т. е.. Обозначают.

Определение:Производнойn-го порядка функцииназывают производную от производной (n– 1)-го порядка данной функции. Обозначают.