sbor

Лабораторная работа № 106

Определение моментов инерции тел вращения методом малых колебаний

Приборы и принадлежности: вогнутая сферическая поверхность, вогнутая цилиндрическая поверхность, шарики, сплошные и полые цилиндры, ручной секундомер, микрометр, штангенциркуль.

Теория метода и описание установки

Рассматривая движение тела как вращение с угловой скоростью w вокруг мгновенной оси A, проходящей через точку касания тела и вогнутой поверхности, скорость его центра масс определим по формулеVc = wr . С другой стороны, эту же скорость можно выразить, учитывая вращательное движение центра масс тела относительно точки О:

Vc = dj RС . dt

Приравнивая оба выражения, находим:

w = dj RС . dt r

Кинетическая энергия тела равна сумме энергии вращения относительно центра масс С и кинетической энергии центра масс, то есть

51

где I — момент инерции тела относительно его центра масс. Подставляя в (1) выражения для Vc и w , получаем:

Тело массой M, находящееся на высоте Н относительно положения устойчивого равновесия, обладает потенциальной энергией WP = MgH . Из рис. 1 следует:

H = DC' = RС - RС cosj = 2RС sin2 j . 2

При малых углах j (j £ 10°) — sin(j 2) » j 2 (если j выразить в радианах). Поэтому

j 2

WP = MgH = MgRС 2 .

Будем считать, что трением качения можно пренебречь и что тело катится без проскальзывания. Тогда справедлив закон сохранения механической энергии:

где

52

— собственная циклическая частота гармонических колебаний.

Решением уравнения (6) является следующая временная зависимость углового смещения центра масс тела относительно вертикали:

j = jA cos(w0t + a) ,

где jA — амплитуда углового смещения; а a — начальная фаза колеба-

ний.

Используя связь периода колебаний с циклической частотой и формулу (7), получим уравнение

из которого выразим момент инерции тела:

и представим выражение для момента инерции (8) в виде

I = kMr 2 . (10)

В данной работе коэффициентыk для простых тел вращения(шар, цилиндр) определяют экспериментально, используя формулу (9), известное значение RС = Rкр - r и измеренный период колебаний Т.

Измерения и их обработка

1. Измерьте радиусы шарика и цилиндров r = d при помощи микромет-

2

ра и определите погрешностьmr , которая равна цене наименьшего деления. Массы тел M , радиусы кривизны вогнутых поверхностей Rкр и их погрешно-

сти mM и mRкр заданы и записаны на лабораторном стенде установки.

Для каждого тела вращения рассчитайте значениеRC = Rкр - r и его аб-

солютную погрешность mRC = mR2кр + mr2 ; вычислите величину Mr 2 . Результа-

ты занесите в таблицу 1.

2. . Определите периоды колебаний шарика на сферической поверхности, а полого и сплошного цилиндров на вогнутой цилиндрической поверхности. Для этого с помощью секундомера измерьте время ti , затраченное на совершение n колебаний (n = 5 – 6). При этом колебания должны иметь небольшую

53

амплитуду, т.е. угол jA не должен превышать8°-10°. Вычислите период

Ti = ti n .

Опыт с каждым телом вращения проведите N = 5 – 6 раз. Рассчитайте для него среднее значение периода T = (åTi )N и абсолютную погрешность, с

которой оно определено — mT = (å(Ti - T )2 )N (N -1) . Результаты зане-

сите в таблицу 2.

Таблица 1

3. Для каждого тела, подставив среднее значение периода T в (9), вычислите среднее значение коэффициента k , а затем по формуле

— его абсолютную погрешность. Чтобы погрешности округления постоянных g и p существенно не влияли на k, эти константы следует брать с точностью до третьего десятичного разряда: g = 9,815 м/c2, p = 3,141 .

4. Вычислите экспериментальные значения моментов инерции рассматриваемых тел и абсолютные погрешности их измерения:

Для каждого тела результаты измерений и расчетов занесите в таблицу 2, а затем представьте в виде доверительного интервала

54

I = I ± mI .

Контрольные вопросы:

1.Выведите дифференциальное уравнение движения при гармонических колебаниях и напишите его общее решение.

2.В каких точках своей траектории колеблющееся тело обладает наибольшими значениями скорости, ускорения?

3.Для используемой лабораторной установки нарисуйте график зависимости потенциальной энергии тела вращения от его углового смещения относительно вертикали.

4.Запишите выражения для кинетической энергии тела при поступательном движении, при вращении вокруг неподвижной оси, при качении.

5.Вычислите момент инерции полого цилиндра относительно его оси симметрии.

6.Полый цилиндр и шар одинакового радиуса и массы скатываются без проскальзывания с одинаковой высоты вдоль наклонной плоскости. Сравните их кинетические энергии и скорости центров масс у основания -на клонной плоскости.

Литература

1.Савельев И.В., Курс общей физики, т. 1, -М.: Наука, все издания.

2.Трофимова Т.И., Курс физики, -М.: Высшая школа, все издания; главы 3

и 4.

3.Веревочкин Ю.Г., Механика, -М.: МИИГАиК, 2005; §36, 48, 55.

55

Лабораторная работа № 107

Определение вязкости методом Стокса

z

r v

r

S F

Рис. 1.

перпендикулярен к оси z , а ее модуль зависит только от пространственной координаты z . Тогда модуль силы внутреннего трения, с которой один из слоев действует на площадку S , принадлежащую соседнему слою (рис. 1), определяется формулой

F =h dv S , dz

относительно друг друга. В системе СИ она измеряется вкг/(м·с). Отметим, что на рис. 1 показана сила внутреннего трения, действующая на площадку S со стороны верхнего более быстрого слоя.

Молекулы жидкости прилипают к поверхности погруженного в нее тела.

56

При движении тела эти молекулы перемещаются вместе с ним относительно окружающей жидкости. Это приводит к появлению силы внутреннего трения, приложенной к телу. Другими словами при нахождении сопротивления жидкости движению тела следует учитывать трение отдельных ее слоёв друг о друга (внутреннее трение), а не трение тела о жидкость.

В данной лабораторной работе шарик падает в жидкости, заполняющей цилиндрический сосуд. Падая, он вовлекает в движение ближайшие слои жидкости. Однако, чем дальше от шарика, тем меньше скорость жидкости. В данной лабораторной работе предполагается, что диаметр сосуда достаточно велик для того, чтобы вблизи его стенок движением вовлеченной жидкости можно было пренебречь. Это позволяет не учитывать влияние стенок сосуда и

Рис. 2.

где η – динамическая вязкость жидкости. Мы воспользуемся этой формулой в данной лабораторной работе.

Помимо силы сопротивления (1) на шарик, падающий в вязкой жидкости, действуют ещё две силы (рис. 2). Одна из них — сила тяжести

57

движение без ускорения. Условием движения без ускорения является равенство нулю равнодействующей всех сил, приложенных к шарику:

Поэтому, разрешая (4) относительно скорости, получаем формулу для скорости равномерного движения шарика в жидкости

из которой выразим динамическую вязкость:

Будем считать, что у верхней метки(см. рис. 4) скорость шарика уже практически совпадает с v0 . Тогда, если t — время, за которое шарик проходит

расстояние между верхней и нижней метками равное L, то v0 = L . Используя в t

Выше предполагалось, что шарик движется равномерно со скоростью v0 .

который графически представлен на рис. 3.

v

v0

t

Рис. 3.

Для получения формул (8) воспользуемся вторым законом Ньютона:

58

Интегрируя (12), получим искомые формулы (8).

Описание установки

a

L

b

Рис. 4.

Экспериментальная установка представляет собой стеклянный цилиндр А, наполненный исследуемой жидкостью(рис. 4). На цилиндр нанесены две горизонтальные метки (резиновые кольца) a и b, расстояние между которыми равно L. Верхняя метка должна располагаться на5-8 сантиметров ниже уровня

жидкости, так как с этой глубины начинается почти равномерное падение шарика в жидкости.

Измерения и их обработка

1.Линейкой измерить расстояниеL между меткамиa и b и записать систематическую погрешность измерений mL .

2.Измерить микрометром диаметры di нескольких близких по размерам

59