sbor

дента (таблица 1) должно соответствовать количеству измеренийN в серии и выбранному значению коэффициента надежности, которое обычно превышает или равняется 0,95. Результат измерений следует представить в виде

лее чем в два раза, то под квадратным корнем (6) следует оставить только большую из них. Тогда абсолютная погрешность e будет равняться большей

из eсист и eслуч .

Отметим, что запись (5) означает, что истинное значение измеряемой величины с выбранной вероятностью b попадает в интервал с верхней границей x + e и нижней границей x - e .

3. Методика обработки результатов косвенных измерений

Пусть физическая величинаZ является функцией аргументов x1, x2 ,..., xN , то есть Z = f ( x1 , x2 ,..., xN ) .

1.Следует провести серии измерений каждой из величинx1, x2 ,..., xN , а затем рассчитать их средние арифметические значенияx1, x2 ,..., xN (1) и

средние квадратичные отклонения средних mx1 , mx2 ,..., mxN (3).

2. Середина доверительного интервала для величины Z находится подстановкой средних значений аргументов в функциональную зависимость

Z = f ( x1 , x2 ,..., xN ) :

Z= f (x1 , x2 ,..., xN ) . (7)

3.Среднее квадратичное отклонение среднего значения величины Z будем

находить по формуле

в которой mx j — средние квадратичные отклонения (3) средних значе-

производные функции Z = f ( x1 , x2 ,..., xN ) по аргументам x j , вычислен-

ные в точке Z = f (x1 , x2 ,..., xN ) .

21

4.Результат представим в виде доверительного интервала, имеющего коэффициент надежности 0,68

5.Согласно (9) абсолютная погрешность измерения величины Z равна mz , то есть относительную погрешность следует находить по формуле

Отметим, что представленный здесь метод обработки результатов косвенных измерений обоснован в случае преобладания случайных погрешностей, если при этом непосредственно измеряемые величины x1, x2 ,..., xN находятся в

сериях из достаточно большого количества опытов. Для таких серий mx j — это абсолютные погрешности измерения величин x j , поскольку при используемом значении коэффициента надежности ( b = 0,68 ) истинные значения этих величин принадлежат доверительным интервалам x j = x j ± mx j .

В силу недостатка времени мы будем применять рассмотренный здесь метод оценки погрешностей косвенных измерений и при сравнительно небольшом количестве опытов.

Инструменты для измерения размеров

Для измерения длины, высоты и других линейных размеров тел применяют масштабные линейки, рулетки, а для точных измерений— штангенциркуль, микрометр и оптические приборы для линейных измерений(например, катетометр). В данной работе используют штангенциркуль и микрометр.

Штангенциркуль (рис. 2) применяют для измерения длин при нахождении наружных и внутренних размеров тел. Он представляет собой линейку1, по которой передвигается подвижная каретка, снабженная вспомогательной шкалой (нониусом 2). Линейка и каретка обладают губками, между которыми помещают измеряемое тело. Для измерения внутренних и внешних размеров используют разные пары губок. На рис. 2 вверху находятся губки, предназначенные для измерения внешних размеров, а внизу — для измерения внутренних размеров. Губки сдвигают до соприкосновения с поверхностью тела: сильный

22

личиной отсчета 0,1; 0,05 и 0,02 мм. Цену деления нониуса можно определить, разделив I мм на число делений шкалы нониуса N . Так, нониус с числом делений N= 20 дает отсчет с точностью 1/20 = 0,05 мм (именно такой нониус показан на рис. 2 и 3). При цене деления 0,05 мм на шкале нониуса отмечают ряд цифр: 25, 50, 75, что озна-

чает 0,25, 0,50 и 0,75 мм.

миллиметровые шкалы: основная (нижняя 3), имеющая ноль, и вспомогатель-

23

ная (верхняя 4), сдвинутая относительно основной на 0,5 мм. Измеряемое тело помещают между неподвижным выступом слева на корпусе и подвижным стержнем, соединенным с микрометрическим винтом. Чтобы избежать чрез-

краю конуса барабана. Это деление будем называть вспомогательным (на рис. 5 и 6 оно помечено стрелкой с цифрой 4).

Если как на рис. 5 вспомогательное деление (4) расположено левее ближайшего к краю барабана деления основной шкалы(3), то отсчет по вспомогательной шкале не производится. В этом случае к целому числу миллиметров, отсчитанному по основной шкале, остается добавить только число сотых долей миллиметра (2), отсчитанное по шкале барабана напротив осевой линии основной шкалы. На рис. 5 целое число миллиметров составляет5, а на барабане

трещотки 5). Если на шкале барабане при этом нет нуля против горизонтальной линии — следует обратиться к лаборанту.

Порядок выполнения работы

а. Прямые измерения

Измеряемым телом является кольцо. Непосредственными прямыми измерениями будем определять внешний диаметр d и высоту a кольца. Случайная

24

погрешность здесь обусловлена погрешностью изготовления. Поэтому один и тот же параметр нужно измерять в разных местах кольца. Последовательность измерений и их обработки такова:

1.Провести семь измерений внешнего диаметра кольца и семь измерений высоты сначала штангенциркулем, а затем микрометром(всего четыре серии). Результаты измерений занести в таблицы 2. Таблица 2 для высоты a представлена ниже. Такую же таблицу нужно подготовить для d .

2.Занести в таблицы систематические погрешности штангенциркуля и микрометра (указаны на приборах).

3.Для каждой из четырех проведенных серий измерений рассчитать сред-

Замечание: При записи доверительного интервала в численном значении абсолютной погрешности следует оставлять одну или две значащие цифры, а у среднего значения точность представления не должна быть выше, чем у абсолютной погрешности. Пусть, например, в результате расчета на калькуляторе получено, что x = 30,14256... мм, e = 0,06278... .мм, а измерения проводились с помощью микрометра. Поскольку использованный прибор не измеряет тысячные доли миллиметра, то численное значение e следует округлить до сотых, то есть принять, что e = 0,06 мм. Ну а раз погрешность не содержит тысячных долей миллиметра, то и среднее значение не должно их содержать. Поэтому результат измерений следует представить в виде x = (30,14 ± 0,06) мм .

б. Косвенные измерения

В этом разделе находятся площадь поперечного сечения и объем цилиндра, образованного внешней поверхностью кольца. Площадь и объем вычисля-

25

тов прямых измерений высоты a и диаметра d. Приведем алгоритм обработки: 1. Используя средние значения диаметра и высоты, рассчитать средние значе-

2.Средние квадратичные отклонения средней площадиmS и среднего объема mV найти с помощью формул

Контрольные вопросы

1.Как определяется систематическая погрешность при прямых измерениях?

2.Что такое доверительный интервал, коэффициент надежности?

3.Предположим, результаты одной и той же серии измерений обрабатываются с использованием разных значений коэффициента надежностиb . Как и почему будет изменяться доверительный интервал при увеличении b ?

4.Что такое абсолютная погрешность?

5.Каким образом можно уменьшить абсолютную случайную погрешность?

6.Как рассчитать абсолютную погрешность прямых измерений при наличии систематической и случайной погрешностей?

7.Что такое относительная погрешность?

8.Что такое косвенные измерения? Как найти их абсолютную погрешность?

9.Покажите как путем преобразований из формулы(11) получаются фор-

мулы (12).

26

Лабораторная работа № 101a

Измерение естественного фона радиации

Краткая теория

Естественной радиоактивностью называется способность некоторых ядер самопроизвольно превращаться в другие ядра с испусканием некоторых видов излучений. Эти виды в процессе изучения явления были названы: α,β, γ - излучением.

Впоследствии было показано, что α -излучение представляет собой поток ядер гелия ( 42 Не ), т.е. поток частиц, имеющих заряд +2е и массу 8me·103, b - излучение — поток электронов или позитронов, а g -излучение это коротковолновое ( l <10-12м) электромагнитное излучение, обладающее высокой проникающей способностью. В силу коротковолновой природы g -излучение слабо проявляет волновые свойства. Здесь на первый план выступают корпускулярные свойства и поэтому g -излучение рассматривают как поток частиц— g - квантов. При распаде различных ядер g -кванты могут иметь энергию от 10 кэВ до 5 МэВ (1 эВ = 1,6·10-19 Дж). Проходя через вещество, g -кванты могут взаимодействовать как с электронными оболочками атомов, так и с ядрами. Обладая нулевой массой покоя, g -кванты не могут замедляться, а могут только рассеиваться. Основными процессами взаимодействия g -излучения с веществом являются комптоновское рассеяние и образование электрон-позитронных пар. При комптоновском рассеянии g -кванты передают часть своей энергии электронам. Испущенные (освобожденные) при этих процессах электроны, обладая достаточно высокой энергией, тоже могут служить ионизирующим фактором, причем их энергии может оказаться достаточно для ионизации не одного, а нескольких атомов.

Воздействие g -излучения на вещество характеризуется дозой ионизирующего излучения. Различаются:

а) поглощенная доза излучения – физическая величина, равная отношению поглощенной энергии излучения к массе облучаемого вещества. Единица измерения грей (Гр), 1 Гр = 1Дж/кг.

б) экспозиционная (полевая эквивалентная) доза излучения – физическая величина, равная, равная отношению суммы электрических зарядов всех ионов одного знака, созданных электронами, освобожденными в облученном воздухе (при условии полного использования ионизирующей способности электронов)

к массе этого воздуха. Единицей измерения экспозиционной дозы излучения является Кл/кг. Внесистемной единицей является рентген( 1 Р = 2,56 ּ10-4 Кл/кг) .

в) биологическая доза – величина, определяющая воздействие излучения на организм. Единица измерения биологической дозы – биологический эквива-

27

лент рентгена (бэр) .

1 бэр – доза любого вида ионизирующего излучения, производящая такое же биологическое действие как и доза рентгеновского или g -излучения в 1 Р

(1 бэр = 10-2 Дж/кг)

В данной работе проводится измерение мощности экспозиционной(полевой эквивалентной) дозы g -излучения. Мощность дозы излучения – физическая величина равная отношению дозы излучения к времени облучения. Мощность экспозиционной дозы излучения измеряется в Р/чили чаще в дольных единицах мкР/ч (I мкР/ч = 10-6 Р/ч).

В данной работе используется прибор комбинированный для измерения ионизирующих излучений РКСБ-104, предназначенный для контроля радиационной обстановки на местности и в быту. Прибор выполняет функции дозиметра и радиометра и обеспечивает возможность измерения:

мощности полевой эквивалентной дозы гамма-излучения; плотности потока бетаизлучения с поверхности; удельной активности радионуклида цезий-137 в веществах.

Взаимодействие ионизирующего излучения с измерительным прибором носят стохастический (случайный) характер, поэтому при малых значениях мощности дозы (на уровне естественного фона от 5 до 60 мкР/ч) может наблюдаться значительный разброс в показаниях прибора.

Систематическая погрешность прибора составляет eсист = 1 мкР/ч.

Порядок работы.

1.Перед началом работы получите прибор комбинированный для измерения ионизирующих излучений РКСБ-104.

2.Переведите левый тумблер в верхнее положение, а правый верхний тумблер в положение «РАБ».

3.Включите прибор, для этого правый нижний тумблер переведите в положение «ВКЛ», тогда прибор издаст короткий звуковой сигнал, а на табло появится 0000. Если после включения прибор издает постоянный звуковой сигнал, то необходимо установить новый элемент питания. Через 27-28 с короткий звуковой сигнал известит об окончании измерения мощности дозы излучения D в лаборатории. Цифры на табло - величина D , измеренная в мкР/ч. Пример: на табло 0012, значит D = 12 мкР/ч.

4.Проведите 3 серии измерений из 3, 10 и 20 отсчетов согласно п. 3. Результаты измерений занесите в таблицу I.

28

Таблица I

Обработка результатов измерений

В данной работе мы будем проводить оценку случайных погрешностей, которые носят вероятностный характер. Случайными называются события, о появлении которых нельзя дать точного предсказания. Назовем появление интересующего нас события благоприятным, а появление другого – неблагоприятным. Если возможно появление только двух типов событий, то вероятностью называется отношение числа появления всех благоприятных событий( n ) к общему числу всех происшедшихсобытий, как благоприятных (n ), так и неблагоприятных ( m ), если общее число событий является достаточно большим, т.е.

Рассмотрим классический пример с бросанием монеты. При бросании монеты могут произойти только два типа события: выпадает орел или решка. Пусть благоприятным событием будет выпадение решки, тогда вероятность этого выпадения будет равняться отношению числа выпадений решки к общему числу бросаний. Опыт показывает, что при большом числе бросаний орел и решка выпадает одинаковое число раз, следовательно вероятность выпадения решки равна ½ (как впрочем и орла).

Для того чтобы оценить значение случайной величины необходимо -по вторить ее измерение несколько раз. Допустим, что мы произвели N равноточных (сделанных одним методом и с одинаковой степенью тщательности) измерений. Случайный характер измеряемой величины приведет к тому, что результаты равноточных измерений окажутся разными. Более того, средние арифметические значения, рассчитанные по данным разных серий, также обычно не совпадают друг с другом. Понятно, что чем длиннее серия, тем более достовер-

29

ную информацию об измеряемой физической величине дает средне арифмети-

ческое. Поэтому под истинным значением случайной величины понимают

предел, к которому стремится среднее арифметическое значение при стремлении числа опытов N в серии к бесконечности.

Определить значение случайной величины— значит найти среднее арифметическое для конкретной серии измерений и оценить— на сколько это среднее арифметическое может отличаться от истинного значения. Здесь это делается методом Стьюдента.

1. Находим среднее арифметическое из N измерений:

N i =1

2. Находим среднее квадратичное отклонение среднего арифметического:

DN(N -1)

3.Задаем доверительную вероятность или коэффициент надежности β , то есть

вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в некоторый интервал, рассчитанный по результатам данной серии измерений, который называется доверительным интервалом. Зная N и β , находим коэффициент Стьюдента t (по таблице) и вычисляем полуширину доверительного интервала

εсл = tmD ,

которая в обе стороны откладывается от измеренного среднего значения. Таким образом, с вероятностью b истинное значение попадает в довери-

тельный интервал с границами D - eсл , D + eсл . Поэтому полуширина доверительного интервала показывает — на сколько при заданной вероятностиис-

тинное значение может отличаться от измеренного среднего значения, то есть является абсолютной случайной погрешностью.

4. Сравните εсл и εсист . Если одна из этих погрешностей превышает другую более чем в два раза, то в качестве абсолютной погрешности возьмите большую.

В общем случае абсолютная погрешность рассчитывается по формуле:

εD = εсл2 + ε2сист

5.Рассчитайте относительную погрешность измерений:

30