Операции над последовательностями

На множествевсех последовательностей элементов множестваможно определитьарифметическиеи другиеоперации, если таковые определены на множестве. Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Пусть на множестве определена-арная операция: Тогда для элементов ,, …,множества всех последовательностей элементов множестваоперациябудет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммойчисловых последовательностейиназывается числовая последовательностьтакая, что.

Разностьючисловых последовательностейиназывается числовая последовательностьтакая, что.

Произведениемчисловых последовательностейиназывается числовая последовательностьтакая, что.

Частнымчисловой последовательностии числовой последовательности, все элементы которой отличны отнуля, называется числовая последовательность. Если в последовательностина позициивсё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность.

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поляили дажекольца.

9.Предел числовой последовательности.

Ответ - Предел числовой последовательности — предел последовательностиэлементов числового пространства. Числовое пространство — этометрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому,

предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Понятие предела последовательности вещественных чиселформулируется совсем просто, а в случаекомплексных чиселсуществование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению.Система счисленияпредоставляет такую последовательность уточнений.Целыеирациональныечисла описываются периодическими последовательностями приближений, в то время какиррациональные числаописываются непериодическими последовательностями приближений.[1]Вчисленных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в видецепных дробей.

Число называется пределом числовой последовательности, если последовательностьявляется бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равнымбесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Частичный предел последовательности— это предел одной из еёподпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек