5.Обратная функция.

Ответ - Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О. ф. для у = ax + b (а¹0)является х = (у—b)/a, О. ф. для у = ех является х = ln у и т.д. Если х = j(y) есть О. ф. по отношению к у = f (x), то и у = f (x)есть О. ф. по отношению к х = j(y). Областью определения О. ф. является область значений данной функции, а областью значений О. ф.— область определения данной. Графики двух взаимно обратных функций у = f (x) и у = j (x) (где независимое переменное обозначено одной и той же буквой х), как, например, у = ax + b и у = (х—b)/a, у = ех и у =  ln х, симметричны по отношению к биссектрисе у = х первого и третьего координатных углов. Функция, обратная по отношению к однозначной функии, может быть многозначной (ср., например, функции х2 и). Для однозначности О. ф. необходимо и достаточно, чтобы данная функция у = f (x)принимала различные значения для различных значений аргумента. Для непрерывной функции последнее условие может выполняться только в том случае, если данная функция монотонна (имеются в виду функции действительного аргумента, принимающие действительные значения). О. ф. по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна и монотонна.

6.Сложная функция.

Ответ - СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ

- функция, представленная как композиция нескольких функций. Если множество значений Yi функции fi содержится во множестве определения Х i+1 функции fi+1, т. е.

то функция определяемая равенством

наз. сложной функцией или (п-1)-кратной композицией (суперпозицией) функций f1, f2, . . ., fn. Напр., всякая рациональная функция любого числа переменных является композицией четырех арифметич. действий, т. е. композицией функций х+у, x-у, ху, х/у.

С. ф. сохраняет многие свойства функций, композицией к-рых она является. Так, композиция непрерывных функций непрерывна. Это означает, что если функция непрерывна в точке, а функция f2 : YZнепрерывна в точке, то С. ф. f2 о/f1 также непрерывна в точке х 0 (здесь X, Y и Zявляются, напр., топологии, пространствами). Подобным образом, композиция праз (непрерывно) дифференцируемых функций представляет собой также праз (непрерывно) дифференцируемую функцию, n=1, 2, ... Композиция возрастающих (убывающих) функций есть возрастающая (соответственно убывающая) функция. При композиции функций иногда меняются количественные характеристики свойств функций: композиция функций f1 и f2, удовлетворяющих условию Гёльдера нек-рых степеней, есть функция, удовлетворяющая условию Гёльдера степени, равной произведению степеней условий Гёльдера, к-рым удовлетворяют функции f1 и f2. Нек-рые характеристики функций не сохраняются при композиции. Так, композиция функций, интегрируемых по Риману или по Лебегу, не является, вообще говоря, функцией, интегрируемой по Риману или, соответственно, по Лебегу; композиция абсолютно непрерывных функций может оказаться не абсолютно непрерывной функцией. Вместе с тем, согласно результатам Н. К. Бари и Д. Е. Меньшова [1], композиция трех абсолютно непрерывных на отрезке функций не приводит к новому классу функций по сравнению с композицией двух абсолютно непрерывных функций. Н. К. Бари [2] доказала, что любая непрерывная на отрезке функция может быть представлена в виде суммы трех композиций абсолютно непрерывных функций, и есть такие непрерывные функции, к-рые но могут быть представлены в виде суммы двух таких композиций. Вместе с тем, всякая непрерывная на отрезке функция является суммой двух композиций функций с ограниченным изменением; однако n-кратные композиции функций с ограниченным изменением для каждого п=1, 2, ... приводят к существенно новым классам функций и существуют однократные композиции функций с ограниченным изменением, не являющиеся непрерывными функциями [3].