38.Основные теоремы о дифференциалах.

Ответ - Теорема Ферма Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной) Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1) она дифференцируема на интервале (a;b) ; 2) достигает наибольшего или наименьшего значения в точке x0 принадлежит отрезку (a;b) . Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть f`(x0)=0 Теорема Ролля Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения) Пусть функция y=f(x) 1) непрерывна на отрезке[a;b] ; 2)дифференцируема на интервале(a;b) ; на концах отрезка [a;b] принимает равные значения f(a)=f(b) . Тогда на интервале (a;b) найдется, по крайней мере, одна точка x0 , в которой f`(x0)=0 . Теорема Лагранжа Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях) Пусть функция y=f(x) 1) непрерывна на отрезке[a;b] ; 2)дифференцируема на интервале (a;b) . Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка x0 , такая, что f(b)-f(a) / b-a= f`(x0) Теорема Коши Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций) Если функции y=f(x) и y=g(x) : 1) непрерывны на отрезке [a;b] ; 2) дифференцируемы на интервале (a;b) ; производная g`(x) не ровна 0 на интервале(a:b) , тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что f(b)-f(a) / g(b)-g(a)=f`(x0) / g`(x0)

39.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Ответ -

40.Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы dy.

Ответ - Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

.

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от, которое при дифференцировании последует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:.

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:

где , апроизвольные приращения независимых переменных. Приращениярассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При  ,-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражениезависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменнаякак независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например,.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример. При n = 2 и  :

если  — независимая переменная, то

если  и

при этом,  и

С учётом зависимости , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.