23.Непрерывность функции в точке и на промежутке.

Ответ - Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция называется непрерывной справа в точке, если.

Функция называется непрерывной слева в точке, если.

Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке, если она является непрерывной в интервале, непрерывной справа в точке, то естьи непрерывной слева в точке, то есть.

Свойства функций непрерывных на отрезке:

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.

Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезкеи принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть,, то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения междуи.

Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке, принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точкатакая, что.

24.Точки разрыва функции и их классификация.

Ответ -Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условийнепрерывности функции, а именно:

функция определена в точке и ее окрестности;

существует конечный предел функции в точке;

это предел равен значению функции в точке , т.е.

называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция не определена в точке, а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке существуют конечные пределыи, такие, что, то точканазывается точкой разрыва первого рода.

Пример

Функция в точкеимеет разрыв первого рода, так как

, а 

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов илине существует или равен бесконечности, то точканазывается точкой разрыва второго рода.

Пример

Для функции точка- точка разрыва второго рода, так как.

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке:или функцияне определена в точке, то точканазывается точкой устранимого разрыва.

Пример

Рассмотрим функцию . Найдемодносторонние пределы и значение функции в точке :

Так как и не равны значению функции в точке, то точка- точка устранимого разрыва.

25.Основные теоремы о непрерывных функциях.

Ответ - Пусть заданы две функции и, непрерывные на некотором множестве. Сумма, произведение и частное (при условии, что) является также непрерывной функцией на рассматриваемом множестве.

Пусть функция задана на множестве, а- множество значений этой функции. Пусть на множествезадана функция, которая называется композицией функций (или сложной функцией).

Теорема

Пусть функция непрерывна в точке , а функциянепрерывна в точке. Тогда композиция этих функцийнепрерывна в точке.

Теорема

Если функция являетсянепрерывной и строго монотонной на отрезке , которые лежит на оси абсцисс, то и обратная функциятакже непрерывна и монотонна на некотором отрезкеоси ординат.

Теорема

Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.