2.23. Сложное движение точки

В ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно в двух системах отсчета, из которых одна остается условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называется сложным. Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе, с которой связана подвижная система отсчета XOYZ, и движения вместе с палубой по отношению к берегу, с которым связана неподвижная система отсчета X₁O₁Y₁Z₁. Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложения сложного движения точки на более простые путем введения дополнительной (подвижной) системы отсчета широко используется в кинематических и динамических расчетах.

Введем следующие понятия, применяемые в сложном движении точки.

Движение точки по отношению к неподвижной системе отсчета X₁O₁Y₁Z₁ называется абсолютным и характеризуется абсолютной скоростью V и абсолютным ускорением а (рис. 2.41).

П

Рис. 2.41

оложение точки на траектории абсолютного движения определяется тремя зависящими от времени координатами, которые называютсяуравнениями абсолютного движения:

X₁ = f₁(t); Y₁ = f₂(t);

Z₁ = f₃(t).

Зная уравнения абсолютного движения, несложно определить абсолютные скорость V и ускорение а по формулам:

;

cos(V,i) cos(V,j ) cos(V,k )

а =

cos(а, i₁) = (d₂X₁/dt²)/ а; cos(а, j₁) = (d₂Y₁/dt²)/ а;

cos(а, k₁ = (d₂Z₁/dt²)/ а.

Д

Рис. 2.42

вижение точки по отношению к подвижной системе отсчетаXOYZ называется относительным движением и характеризуется относительной скоростью V_r и относительным ускорением a_r (рис. 2.42).

Положение точки на траектории относительного движения определяется тремя зависящими от времени координатами, которые называют уравнениями относительного движения:

X = f₄(t);

Y = f₅(t);

Z = f₆(t).

Зная уравнения относительного движения, несложно определить относительную скорость V_r и относительное ускорение a_r по формулам:

cos(V_r,i)

cos(V_r,j)

cos(V_r,k)

a_r =

cos(a_r, i) = (d₂X/dt²)/ a_r;

cos(a_r, j) = (d₂Y/dt²)/ a_r;

cos(a_r, k) = (d₂Z/dt²)/ a_r.

П

Рис. 2.43

усть координаты точки в подвижной системе отсчетаXOYZ постоянны: X = C₁ = const; Y = C₂ = const; Z = C₃ = const. Движение этой точки относительно неподвижной системы отсчета X₁O₁Y₁Z₁ называется переносным движением, которое характеризуется переносной скоростью V_e и переносным ускорением a_e (рис. 2.43).

Положение точки на траектории переносного движения определяется тремя зависящими от времени координатами, которые называют уравнениями переносного движения:

По известным уравнениям переносного движения находится переносная скорость V_e и переносное ускорение a_e.

cos(V_e, i) = V_eХ/V_e;

cos(V_e, j) = V_eY/V_e;

cos(V_e, k) = V_eZ/V_e;

a_e =

cos(a_e, i) = (a_e;

cos(a_e, j) = ((/a_e;

cos(a_e, k) = ()/a_e.

Н

Рис. 2.44

а рис. 2.44 приведен пример сложного движения точки.

Рис. 2.44

В неподвижной системе отсчета X₁O₁Y₁Z₁ флажок вращается относительно оси O₁Y₁ с переносной угловой скоростью ω_е. На флажке закреплена подвижная система отсчета XOYZ, которая вращается с флажком относительно оси O₁Y₁. На флажке выполнен канал, по которому движется точка М с относительной скоростью V_r.

Траектория относительного движения – прямая линия ОА на флажке. Уравнение относительного движения задано S_r = f(t).

Для определения траектории переносного движения поступают следующим образом. Задают время t₁ и определяют положение точки М на траектории относительного движения. S_r(t₁) = const. Зафиксированная на траектории относительного движения точка М в момент времени t₁ вместе с флажком описывает в неподвижной системе отсчета X₁O₁Y₁Z₁ окружность радиусом МК. Эта окружность является траекторией переносного вращения. Необходимо отметить, что в другой момент времени t₂ координаты точки М на траектории относительного движения S_r(t₂) будут иметь другие значения и, следовательно, траекторией переносного движения будет окружность с другим радиусом.

Если в каждый момент времени складывать относительное и переносное движения, то получим абсолютное движение. В рассматриваемом примере траекторией абсолютного движения является винтовая линия, сформированная на конусе, образованном прямой ОА на флажке при его вращении относительно оси O₁Y₁.