Если эти коэффициенты заданы, то передаточная функция определятся следующей формулой.
|
b sm b |
|
sm 1 |
b s b |
|
||||
|
m |
|
m 1 |
|
1 |
0 |
(48) |
||
H (s) a |
sn a |
n 1 |
sn 1 |
a s a |
0 |
||||
|
|||||||||
|
n |
|
|
|
1 |
|
|||
Комплексный коэффициент передачи фильтра и то
передаточная функция H(s) связаны простым соотношением.
K ( ) H (i )
(49)
51
Поэтому АЧХ и ФЧХ аналогового фильтра легко найти, если мы знаем переходную функцию.
Разложив числитель и знаменатель функции передачи (48) на элементарные множители, мы получаем функцию передачи в следующем виде.
H (s) k |
(s zm )(s zm 1 ) (s z1 ) |
(50) |
||||
(s p |
n |
)(s p |
n 1 |
) (s p ) |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Здесь k = bm /an - коэффициент усиления, zi – нули функции передачи, pi - полюсы функции передачи. Поэтому для
определения свойств аналогового фильтра вместо |
|
коэффициентов ai ,bi основного дифференциального |
|
уравнения, можно использовать нули и полюса zi , pi |
функции |
передачи. |
52 |
Фильтры Баттерворта
Фильтры Баттерворта это фильтры нижних частот. Передаточная функция H(s) определяется n полюсами, которые задаются формулой.
|
|
1 |
|
2 k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pk 0e |
i |
2 |
2 n |
|
, |
k 1, 2, , n |
(51) |
|
|
|
|
Здесь 0 - некоторая заданная частота, называемая частотой среза. Полюсы (51) лежат в комплексной плоскости на окружности радиуса 0 , потому что для них выполняется условие.
pk |
|
0 |
(52) |
|
53
Число n определяет порядок фильтра Баттерворта. На рисунке показано расположение полюсов для фильтра Баттерворта 5-го порядка в комплексной s - плоскости. Для простоты частота среза взята раной единице 0 = 1 .
54
Передаточная функция H(s) для фильтра Баттерворта конструируется из полюсов следующим образом.
H (s) |
|
k0 |
|
|
(53) |
|
(s p )(s p |
) (s p |
) |
||||
|
||||||
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
Здесь k0 - нормировочный множитель.
Используя связь (49) между передаточной функцией H(s) и
комплексным коэффициентом передачи K( ), находим комплексный коэффициент передачи.
K( ) H (i ) |
|
k0 |
|
(54) |
|
(i p )(i p |
) (i p |
) |
|
||
|
1 |
2 |
n |
|
|
55
Теперь из формулы (54) можно найти АЧХ и ФЧХ фильтра Баттерворта n - го порядка. Простые, но громоздкие вычисления позволяют получить для АЧХ простую аналитическую формулу. Если нормировочный множитель положить равным
k0 0n ,
то АЧХ фильтра Баттерворта будет выражаться формулой.
AK ( ) |
|
|
|
1 |
|
|
(55) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
2 n |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
56
На рисунке показано АЧХ фильтра Баттерворта 5-го порядка Для простоты частота среза взята раной единице 0 = 1 .
57
Для ФЧХ такой простой формулы как для АЧХ не существует. Поэтому надо брать формулу (54) и по ней находить ФЧХ.
На рисунке показано ФЧХ фильтра Баттерворта 5-го порядка Для простоты частота среза взята раной единице 0 = 1 .
58
Фильтр Чебышева первого рода
Фильтр Чебышева первого рода является фильтром нижних частот. Передаточная функция этого фильтра не имеет нулей, а ее полюсы расположены в левой половине эллипса на комплексной s - плоскости.
АЧХ фильтра Чебышева описывается следующим образом.
AK ( ) |
1 |
|
|
|
(56) |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
1 2Tn2 |
/ 0 |
|
|||||
|
|
|
|||||
59
Здесь 0 - частота среза, Tn (x)- полином Чебышева n - го порядка. Параметр определяет величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания. Значение параметра связывают обычно с уровнем пульсаций Rp (в децибелах) по следующей формуле.
Rp 10 lg(1 2 ) (dB) (57)
На рисунке показано расположение полюсов для фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка в комплексной s - плоскости. Уровень пульсаций в полосе пропускания взят 0.5 дБ. Для простоты частота среза взята раной единице 0 = 1.
60