Вспомним, как определяется спектр дискретного сигнала. Для аналогового сигнала s(t) выбирается шаг дискретизации t , и дискретный сигнал sn находят по формуле
sn s( tn ), |
tn n t (10) |
Затем спектр дискретного сигнала находят по формуле
|
1 |
|
i |
n |
f |
|
|
|
|
||||
SD ( f ) |
|
sn e |
|
F |
|
(11) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
2F n |
|
|
|
|
|
Здесь F - частота Найквиста.
F |
1 |
(12) |
2 t |
||
|
|
11
Вспомним, что условие физической реализуемости ЛДФ накладывает на импульсную характеристику условие.
h(n) 0, |
n 0 |
(13) |
Используя это условие, нижний предел суммирования в формуле (9) для частотной характеристики можно формально отодвинуть до - (минус бесконечности). Кроме того, в этой сумме заменим шаг дискретизации через частоту Найквиста по формуле (12). В результате получим.
|
i |
n |
f |
H ( f ) h(n) e |
|
||
F |
|||
|
|
(14) |
|
n |
|
|
|
12
Мы видим, что формула (14) для частотной характеристики ЛДФ, и формула (11) для спектра дискретного сигнала имеют одинаковую структуру. Поэтому, если импульсную характеристику h(n) рассматривать как дискретный сигнал, то частотная характеристика H( f ) будет равна спектру этого дискретного сигнала HD( f ) , умноженному на удвоенную частоту Найквиста.
H ( f ) 2F H D ( f ) |
(15) |
|
Так как частотная характеристика является спектром дискретного сигнала, то все свойства спектра дискретного сигнала, применимы к частотной характеристики ЛДФ.
13
Так, например, частотная характеристика является периодической функцией частоты с периодом 2F .
H ( f 2F ) H ( f ) (16)
Кроме того, для вычисления частотной характеристики можно использовать дискретное преобразование Фурье ДПФ, и, в частности, быстрое преобразование Фурье БПФ.
14
КИХ и БИХ фильтры
Определение. Конечной импульсной характеристикой ЛДФ будем называть импульсную характеристику, имеющую конечное число элементов отличных от нуля.
M |
m M |
h(m) 0 |
Другими словами, всегда существует такое число M , что для любого номера m большего M все элементы импульсной характеристики h(m) равны нулю.
Фильтры с конечной импульсной характеристикой будем называть КИХ - фильтрами (английский термин – finite impulse response, FIR).
15
Бесконечной импульсной характеристикой ЛДФ будем называть импульсную характеристику, имеющую бесчисленное число элементов отличных от нуля.
M |
m M |
h(m) 0 |
Другими словами, какое бы большое число M мы не взяли, обязательно найдется такой номер m , для которого элемент импульсной характеристики h(m) будет отличен от нуля.
Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой будем называть БИХ - фильтрами (английский термин – infinite impulse response, IIR).
На рисунках показаны импульсные характеристики КИХ и
БИХ фильтров.
16
h(n) FIR filter 3 
2.5
2 |
|
1.5 |
|
1 |
|
0.5 |
|
00 |
5 |
10 |
15 |
20 |
n |
|
|
17
h(n) IIR filter
3 |
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
00 |
5 |
10 |
15 |
20 |
|
|
n |
|
|
18
Рекурсивные и нерекурсивные фильтры и их связь с КИХ и БИХ фильтрами
Напомним, что основное разностное уравнение ЛДФ, имеет вид.
M |
N |
y(k) am y(k m) bn x(k n) (17) |
|
m 1 |
n 0 |
Коэффициенты этого уравнения позволяют выразить переходную функцию фильтра с помощью формулы.
|
N |
|
|
|
bk z k |
|
|
H (z) |
k 0 |
|
(18) |
M |
|
||
|
|
||
1 am z |
m |
|
|
|
m 1 |
|
19 |
В зависимости от того, равны нулю все или не все коэффициенты an , фильтры разделяют на рекурсивные и
нерекурсивные.
Если все коэффициенты an равны нулю, то мы получаем уравнение нерекурсивного фильтра.
N
y(k) bn x(k n) (19)
n 0
Нерекурсивный фильтр – это фильтр без обратных связей. Переходная функция нерекурсивного фильтра имеет вид.
N |
|
H (z) bk z k |
(20) |
k 0 |
20 |
|