28BРешения и ответы к главе 1

1.

Разложим общий член ряда

an

=

2

в сумму про-

(2n −1)(

2n +1)

стейших дробей:

a =

1

−

1

.

Теперь запишем n-ю частичную

n

2n −1

2n +1

сумму ряда в виде суммы простейших и раскроем скобки:

Sn

1

1

1

1

1

1

1

= 1

−

+

−

+

−

+... +

−

=

3

3

5

5

7

2n

−1

2n +

1

=1 − 1

+

1

−1

+

1

−

1 +...

... +

1

−

1

=1−

1

.

2n −1

2n +

1

2n +1

3

5 5

7

9

14243 123 123

14243

=0

=0

=0

=0

Находим сумму ряда S = lim Sn = lim

1

1−

=1.

n→∞

n→∞

2n +1

2.

Общий член ряда an =

n +3

можно разложить в сумму

n(n +1)(n +2)

простейших дробей по методу неопределенных коэффициентов:

an

=

n +3

=

3 2

−

2

+

1 2

=

1

3

−

4

+

1

.

n(n +1)(n +

2)

n

n +1

n +2

2

n

+1

n +2

n

Тогда n−я частичная сумма ряда примет вид

S = 1

3 − 4 +1

+ 3

− 4 +

1

+ 3 − 4 +1 +

3 − 4 +

1

+

3 − 4 +

1

+...

n

2

1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7

... +

1

3

−

4

+

1

.

2

n +1

n +2

n

Sn =

1

3

−

4

+

3

+

1

−

4

+

1

2

1

2

2

n +1

n +1

n +2

и lim S

n

=

5 .

n→∞

4

3.

В обозначениях примера 5

R1 =5000,

R2

= 6000,

j =12,

n = 5 .

Поэтому накопленная сумма

S

12

5

100 6000

12

5

5

=5000

1+

+

1+

−1

≈ 46928,79 руб.

100

12

100

4. Группируя вместе слагаемые с четными и нечетными знаменате-

лями, получим, что исходный ряд равен

1

1

1

1

1

1

1

1+

+

+

+... +

+

+

+

+... =

3

9

27

6

18

54

2

1

1

1

1

1

1

1

3

1

1

1

=

1

+

+

+

+...

+

1+

+

+

+...

=

1

+

+

+

+

... .

3

9

27

2

3

9

27

2

3

9

27

Ряд в скобках представляет собой геометрический ряд со знамена-

телем q =

1

и b =1,

причем его сумма находится по формуле S =

b

.

3

1−q

3

1

9 .

Итак, сумма данного ряда S =

=

1

2

1−

4

5.

3

Проверяем выполнения условия lim an = 0 . В силу второго заме-

1 n

n→∞

чательного предела

lim

−

=

1

≠ 0 .

Таким образом,

необходимое

1

e

n→∞

n

условие не выполнено, и ряд расходится.

6.

Используя первый замечательный предел, находим

8. Легко видеть, что общий член ряда равен a

n

=

n +3n

. Применим

n2

+7n

метрическому

ряду

с

b =

3

n :

lim

an

= lim

n +3n

7n =

2

n

n

7

n→∞ bn

+

7

n

7n (n +3n )

n→∞

n

3

= lim

.

Разделив числитель и знаменатель на 21n ,

получим

n→∞

3n (n2 + 7n )

an

1+

n

n

lim

= lim

3n

. Применим правило Лопиталя для вычисления lim

n2

3n

n→∞ b

n→∞

1+

n→∞

n

7n

n2

n2

∞

2n

∞

2

и lim

n

: lim

n =

= lim

=

= lim

= 0 .

7

7

n

ln 7

7

n

ln

2

7

n→∞ 7

n→∞

∞

n→∞

∞

n→∞

an

Аналогично доказывается, что lim

n

= 0 . Поэтому lim

=1 ≠ 0 , и

3n

n→∞

n→∞ b

исходный ряд сходится.

n

9.

Заметим,

что для любого натурального n имеет место неравен-

ство

ln n < n . Поэтому

1 <

1

при

n ≥ 2. Поскольку «меньший» ряд

ln n

n

расходится, то расходится и «больший», т.е. исходный ряд.

10.

Оценим

сначала

общий

член

исходного

ряда

33 n4

+(−1)n

≥

33 n4

−1

. Порядок общего члена «меньшего»

ряда с

n2 +3n +7

n2 +3n +7

an =

33 n4 −1

равен

4

−2 = −

2

. Поэтому мы можем применить второй

n2 +3n +7

3

3

1

: c = lim

a

3

3 n4 −1

3

n2

3n2 − 3

n2

дом с b

=

n

= lim

= lim

=3 ≠ 0 .

n2 3

+3n +7

1

n

n→∞ b

n→∞ n2

n→∞ n2 +3n +7

n

Поэтому «меньший» ряд, как и ряд исходный, расходятся.

11.

Введем функцию

f (x)=

1

(x

≥ 2), которая положительна

x ln x

+∞∫

dx

=limb→∞

∫b

dx

=limb→∞

∫b

d ln x

=limb→∞(ln(ln x)

b2 )=limb→∞(ln(lnb)−ln(ln2))=∞.

xln x

ln x

2

2 xln x

2

∞

2

−n +5

n

12.

Рассмотрим новый ряд ∑

5n

, который расходится,

2

+2n +1

n=1

3n

как

следует

из

1

5

признака

Коши:

k = lim n

an

= lim

5n2 −n +5

= lim

5 − n

+ n2

= 5

>1. Теперь заметим,

что

3n2 + 2n +1

1

n→∞

n→∞

n→∞

3 +

2

3

+ n2

предел отношения общих членов

n

5n2 −n+5

n+2

1 5

2

2

2

an

5n2

=lim

5−n +n2

c =lim

=lim

3n +2n+1

=lim

−n+5

= 25

≠0,

n→∞ bn

n→∞

5n2 −n+5 n

n→∞

3n2 +2n+1

n→∞

2 1

9