∞

2

−n +5

n+2

Упражнение 12. Исследовать сходимость ряда ∑

5n

.

2

+2n +1

n=1

3n

∞

(7)

∑an ,

ряда оценивается как

sin n

≤

1

. А так как геометрический ряд с

q =

1

n

n

3

3

3

∞

(8)

∑(−1)n−1an , an > 0 ,

а сходимость исследуют с помощью следующего признака.

Признак Лейбница. Если абсолютные величины an членов ряда

(8), монотонно убывая, стремятся к нулю, т.е. a

< a

и

lim a

n

= 0 ,

n+1

∞

n

n→∞

то ряд (8) сходится. При этом любой остаток rk

= ∑ (−1)n−1an ряда

(8)

не

превосходит по

модулю

первого

n=k+1

членов, т.е.

из своих

rk

≤ ak+1 .

1

2

3

4

Пример 17. Выяснить, сходится ли ряд −

+

−

+

−... абсо-

36

49

лютно, условно или расходится.

10

23

(−1)n n

Решение. Легко видеть, что общий член ряда равен

с

13n −3

n

n

1

a =

. Так как c = lim

=

≠ 0, то ряд расходится.

n

13n −3

n→∞ 13n −3

13

∞

n

(3n

−2)

Упражнение 14. Выяснить, сходится ли ряд

∑

(−1)

абсо-

2

−2n +2

лютно, условно или расходится.

n=1

n

Пример 18. Выяснить, сходится ли ряд

−

1

+

1

−

1

+

1

−...

10

23

36

49

(−1)n

и a

n

=

1

. В этом случае c = lim

1

= 0 и последователь-

13n −3

13n −3

n→∞ 13n −3

1

ность

{a

}

монотонно

убывает. Действительно,

an+1

=

13

(n +1)−3

=

n

an

1

13n −3

13n −3

=

<1. Таким образом, исходный ряд сходится. Для определения

13n +10

∞

1

сходимости ряда

∑

сравним его с (расходящимся)

гармониче-

n=1 13n −3

∞

1

n

1

13n −3

ским рядом ∑1 .

Вычисляя предел c = lim

= lim

=

≠ 0,

13n −3

n=1

n

n→∞

1

n→∞

13

∞

π

3 2

Пример 19. Выяснить,

сходится ли ряд ∑(−1)n tg

абсолютно,

3n

условно или расходится.

n=1

Решение. Так как

функция y = tg x

монотонно

возрастает на

π

π

3 2

0;

, то последовательность an = tg

является убывающей и

3n

3

x функция tg x ≈ x ,

то сравним теперь ряд из модулей с обобщенным

гармоническим рядом

π

3 2

π

3 2

∞

tg

tg

3 2

1

3n

π

π

∑

с = lim

3n

≠ 0 .

:

= lim

=

n

3 2

1

π

n=1

n→∞

n→∞

3

3

n3 2

3n

∞

1

∞

Поскольку ряд ∑

сходится, то сходится и ряд ∑an . Итак, ис-

3 2

n=1

n

n=1

ходный ряд сходится абсолютно.

∞

n−1

Упражнение 15.

Выяснить, сходится ли ряд

∑

(−1)

абсолютно,

условно или расходится.

n=1 n +ln n

∞

2n +1 абсолют-

Упражнение 16. Выяснить, сходится ли ряд ∑(−1)n+1

n=1

n!