Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MatAn_ch_5.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.04.2015

Размер:

893.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Поскольку ряд знакопеременный и четвертое слагаемое (а значит, и весь остаток ряда) по модулю не превышает 0,001, то для получения приближенного с точностью до 0,001 значения интеграла достаточно

взять первые три слагаемых: I ≈

1 −

443

≈ 0, 461.

320

960

18. Из

табличного

разложения

для

sin t представим подынте-

гральную функцию в виде

sin t

=1−

−

+...

. Интегрируя почлен-

но, находим интеграл

I =

− t

+ t

−

+... dt =

−

....

3 3!

5 5!

7 7!

∫0

3! 5! 7!

Поэтому I =1−181 + 6001 − 352801 +K. Поскольку ряд знакопеременный и

четвертое слагаемое (как и весь остаток ряда) по модулю меньше 0,0001, то для получения приближенного с точностью до 0,0001 значения интеграла достаточно взять первые три слагаемых:

I ≈1−		1	+	1	=	1703	≈ 0,9461.
	18			600		1800

30BРешения и ответы к главе 3

1. Условию задачи соответствует (бесконечный) поток платежей

					{																		}
		CF = (0, x),(1, −1500),(2, −1500)K,(n, −1500),K
Ежегодные выплаты будут обеспечены, если текущая стоимость
PV потока неотрицательна, т.е. PV (CF )≥ 0 , или
		x −			1500				−			1500		−K−		1500				+K≥ 0 ,
		x −		(1+0,08)					−	(1+0,08)2				−K−	(1+0,08)n					+K≥ 0 ,
x ≥	1500		1500					1500					1500			1			1					1
		+			2 +K+						n	+K=		1	+		+					K+						+K
	1,08	+	1,08		2 +K+			1,08			n	+K=		1	+	1,08	+	1,08			2	K+	1,08			n		+K
	1,08		1,08					1,08					1,08			1,08		1,08					1,08
Используя формулу для суммы геометрического ряда с q =																									1			, полу-
Используя формулу для суммы геометрического ряда с q =																								1,08				, полу-
чим x ≥ 1500					1			1500																1,08
					1		=	1500				=18750.		Таким образом,								на счет					должно
						1	=					=18750.		Таким образом,								на счет					должно
	1,08 1−					1		0,08
	1,08 1−				1,08			0,08
					1,08

быть положено не менее 18750.

Текущая стоимость A бессрочной годовой ренты с постоянным

платежом R при ставке r равна A =

. Если выплата R увеличивается

R +0,01R

=1,01R .

на 1%, то приведенная стоимость ренты равна

A =

Если

же

процент

уменьшается на 1%,

то

приведенная стоимость

A =

. Решая, например, неравенство

A < A

, получим:

−0,01

1,01R

1,01Rr −0,0101R < Rr Rr <1,01R r <1,01.

r −0,01

Таким образом, текущая стоимость вечной постоянной ренты при увеличении платежа на 1% ниже, чем при уменьшении процента, если ставка по проценту не превышает 1,01 (т.е. при ставке менее чем 101% годовых). Противоположное неравенство AR > Ar верно при ставке r бо-

лее чем 101% годовых.				R
3. Применяя формулу A =				R		примера 2 при R =15000 и r = 0,08,
3. Применяя формулу A =				r		примера 2 при R =15000 и r = 0,08,
получим A = 15000 =187500 .				r
получим A = 15000 =187500 .
0,08			R				Q
4. Применяя формулу A =			R		+		Q	примера 2 при R = 5000 , Q =1000
4. Применяя формулу A =					+			примера 2 при R = 5000 , Q =1000
			r				r2
и r = 0,05, получим A = 5000	+	1000 = 500000 .
0,05		0,052

31BРешения и ответы к задачам для повторения

1. Выведем формулу для n -й частичной суммы. Ясно, она имеет

вид

1			1	1 1				1 1				1 1				1			1
Sn =		−		+		−		+		−		+		−		+... +		−		,
	3		3		2		4		3		5		4		6		n		n+2
			3		3 3				3 3				3 3				3 3

и каждое слагаемое вида 31k (при k > 2 ) входит в k -ю и (k +2)-ю скоб-

ки (с противоположными знаками). После соответствующих сокращений

получим, что Sn	=	1	+	1	−	1	−		1		, и сумма ряда
		3		2		n+1			n+2
			3			3		3
	S = lim Sn					= lim			1	+		1	−	1	−	1	=	4 .
									3			2		n+1		n+2
			n→∞			n→∞					3 3					3		9

x ln2 x

2. Разложим общий член ряда an =

в сумму простей-

(n +2)(n +3)

ших дробей an

−

и запишем n-ю частичную сумму ряда в виде

+ 2

n +3

1 1

Sn =

−

+... +

−

n +3

Поэтому сумма ряда S = lim Sn

= lim

−

n→∞

n +3

3. Поскольку

(n +1)2 3n+2

= (n + 2)2 3n+3

то по признаку

n+1

5n+1

Даламбера имеем

d = lim

(n +2)2 3n+3

+1 2

<1.

n+1

= lim

n+1

= lim

(n +1)

3n+2

n→∞

n +2

Поскольку d <1, то ряд сходится.

1+cos n

4. Поскольку

cos n

≤1, а n2 +7 > n2 , то a

. Из срав-

n2 +7

нения с обобщенным гармоническим рядом с α = 2 получаем, что ряд сходится.

5. Введем функцию f (x)= (x ≥ 2), которая положительна

и монотонно убывает. Значит, сходимость данного ряда эквивалентна сходимости несобственного интеграла

+∞ 6dx

= 6lim

d ln x

= 6lim

−1

= −6lim

−

∫

b→∞

2 x ln

ln x

ln b ln 2

Интеграл сходится, поэтому сходится и исходный ряд.

Поскольку числитель общего члена a

n +(−1)n

n(n +5)

ln62 <∞.

ведет себя

как 4 n , а знаменатель квадратичен по n , то сравним исходный ряд с обобщенным (сходящимся) гармоническим рядом с bn = n13 2 .

(

)

(

)

+(−1)n

3 2

4 n +

с=lim

=lim

−1

n =lim

−1

=lim

=4 ≠0.

n(n +5)

n2 +5n

n→∞ bn

n→∞

1+n

По второму признаку сравнения исходный ряд сходится.

7. Заметим, что lim

n +7

= 0 и

n→∞

n3 +8n2

<1.

n+1

+1)2

n +

n3 +9n2 +

15n +1

Поэтому последовательность {an } является бесконечно малой и моно-

тонно убывает. Таким образом,		исходный ряд сходится по признаку
		∞			7
Лейбница. Сравним теперь ряд		∑	n +			с (расходящимся) гармониче-
			2
		n=1		n			n +7
∞	1 : вычислим предел							= lim n +7 =1. Получа-
							n2
ским рядом ∑				c = lim
							1
n=1	n				n→∞			n→∞	n

ем, что ряд из модулей расходится и исходный ряд сходится условно.

8. Сделав замену t = x +3, получаем ряд ∑∞ tn n и находим радиус

n=1 n 5

его сходимости:

	an		(n +1) 5n+1	= 5lim n +1		= 5.
R = lim		= lim
	a		n 5n
n→∞		n→∞		n→∞	n
	n+1

Ряд сходится на интервале (−5;5). При t = 5 получаем (расходящийся)

гармонический ряд ∑∞ 1 , а при t = −5 − знакочередующийся ряд

n=1 n

∞	(−1)	n
∞		, который сходится по признаку Лейбница в силу того, что по-
∑
n=1	n		1
следовательность			1
следовательность				модулей его членов убывает и стремится к 0. Та-
			n
ким образом, [−5;5)				− область сходимости ряда с нулевым центром, а

[−3 −5;−3 +5)=[−8;2)− область сходимости исходного ряда.

9.Сделаем замену t = x −2 x = t + 2 и представим преобразованную функцию в виде суммы простейших дробей:

f (t )=

+2(t +2)−(t +2)2

−2t −t2

−t

t +3

−t

+t 3

∞

Теперь

каждую из дробей

представим

виде

ряда:

= ∑tn ,

1−t

n=0

∞

= ∑(−1)n (t 3)n . Получаем, что

1+t 3

n=0

∞

(t )= ∑tn +

∑(−1)n

= ∑ 1+ (−n1+)1

tn .

n=0

Теперь находим радиус сходимости ряда:

n+2

n+1

+(−1)

)

+ (−1)n

n+2

R = lim

3 3

=1,

= lim

= 3lim

an+1

+(−1)n+1 )

(−1)n+1

n→∞

n→∞ 3n+1 (3n+2

n→∞

3n+2

и ряд сходится при t (−1,1). Сделав обратную замену t = x −2 , получим разложение исходной функции в ряд Тейлора:

f (x)=

2 = ∑ 1+

(−n1+)1

(x −2)n ,

∞

3 +2x − x

n=0

причем ряд сходится при x (2 −1, 2 +1)=(1,3).

10. Заметим,

что

f (x)= ln ((4 − x)(2 + x)).

Сделав замену t = x +1,

т.е. x = t −1, преобразуем исходную функцию к виду

f (t)=ln ((5 −t)(t +1))

=ln (1+t)

+ln (1

+t).

+ln 5 1−

=ln5 +ln 1

−

Разлагая теперь каждую из функций в степенной ряд,

используя таб-

∞

n−1

∞

личное разложение, получим ln (1+t )= ∑(−1)

, ln 1−

= −∑

n 5

n=1

∞

n−1

и f (t )= ln 5 +∑ (−1)

−

n=1

Теперь находим радиус сходимости ряда:

−1 n−1

n+1

+1)((−1)

n−1

(

)

n+1

n +1

R =lim

=lim

5 −1)

=5lim

lim

=1,

n+1

n→∞

n+1

5 n(

(−1)

−1)

(−1)

n+1

и ряд сходится при t (−1,1). Сделав обратную

замену t = x

+1, получим

разложение исходной функции в ряд Тейлора

1 (x +1)n

∞

n−1

f (x)= ln ((4 − x)(2 + x))= ln 5 +∑ (−1)

−

n=1

с интервалом сходимости x (−1−1, −1+1)

=(−2,0).

11.

Будем проводить все вычисления с двумя дополнительными

знаками. Поэтому полагаем, что π

≈ 0,349066, а также используем раз-

∞

ложение для функции cos x = ∑(−1)n

= ∑un ,

где un

=(−1)n

(2n)!

n=0

Так

как

отношение

= −

x2n (2n −2)!

= −

то

un−1

x2n−2 (2n)!

(2n −1)2n

= −

un−1 при

n ≥1.

Последовательно

находим

=1,

(2n −1)2n

u = −u

=–0,060924,

= −u

=0,000619,

= −u

1 2

= –0,0000025. Так как ряд для функции cos x знакопеременный, то остаток ряда не превышает последнего слагаемого, т.е. u3 . Таким образом,

требуемая точность достигнута. Суммируя найденные члены ряда, полу-

чим cos

≈ 0,9397 .

∞

12.

Представим P0 в виде P0

= D0 ∑

+a ∑

. Первое

(1+r)

n=1

n=1 (1+r)

слагаемое является суммой геометрического ряда с первым членом

(1+r )

и знаменателем

, поэтому его сумма равна

= r

. Таким

1+r

1−1

(1+r )

∞

образом,

D0 ∑

Во

втором

слагаемом

сделаем

замену

(1+r)

n=1

∞

x =

и получим:

a∑

= a∑nxn = ax∑nxn−1 . После вынесения

n 1 (1+r )

n 1

x каждое слагаемое равно производной xn . Поэтому

∞

′

a 1+r

)

ax∑nxn−1 = ax ∑xn = ax

(

(1− x)

− x

−

1+r

и P

+a 1+r =

D0 +a

13BТЕМЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Понятие числового ряда.

Свойства сходящихся рядов, необходимое условие сходимости. Абсолютная и условная сходимость числового ряда. Исследование числового ряда на сходимость. Математическое описание финансовых потоков и рент. Понятие степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора (Маклорена).

Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Разложение функций в ряд Тейлора (Маклорена). Использование рядов при приближенных вычислениях.

14BТРЕБОВАНИЯ К ЗНАНИЯМ, УМЕНИЯМ, НАВЫКАМ

После изучения части «Ряды» учебного пособия по математическому анализу студент должен обладать следующими основными навыками:

¬Владеть понятием числового ряда. Знать свойства сходящихся рядов, необходимое и достаточные условия их сходимости.

¬Владеть понятиями абсолютной и условной сходимости числового ряда. Уметь исследовать числовой ряд на сходимость.

¬Иметь представление о математическом описании финансовых потоков и рент.

¬Владеть понятием степенного ряда. Уметь находить область сходимости степенного ряда.

¬Владеть понятием ряда Тейлора (Маклорена). Знать достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Уметь находить разложение функций в ряд Тейлора (Маклорена).

15BЗ а к л ю ч е н и е

Часть «Ряды» является предпоследней в серии пособий по математическому анализу, предназначенной для подготовки бакалавров экономики. Поэтому в ней многократно используются основные результаты и техника вычислений, изложенные в предыдущих изданиях данной серии. Особенно это относится к различным методам вычисления пределов и дифференциальному исчислению функций одной переменной.

В пособии обсуждаются методы решения задач по следующим основным темам: числовые ряды, положительные и знакопеременные ряды, степенные ряды и их сходимость, ряды Тейлора и Маклорена, разложение функций в степенной ряд. Особое внимание уделено использованию рядов в приближенных вычислениях.

Наряду с классическими задачами математического анализа обсуждаются задачи, связанные с финансово-экономическими приложениями. К ним относятся задача о росте накоплений на банковском вкладе, а также вопросы, связанные с понятием финансового потока (приведенное значение потока, арифметическая и геометрическая ренты).

Руководство предназначено для использования на практических занятиях и при подготовке к экзамену, а также для организации самостоятельной работы студентов по курсу математического анализа.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.04.2019110.59 Кб8Marketing (1).doc
#
24.03.2016359.94 Кб21Marketing.doc
#
20.08.201988.58 Кб14marketing.doc
#
13.03.20156.75 Mб715Marketingovye_Issledovania_Kameneva_Polyakov_2.doc
#
20.09.2019688.64 Кб30marketing_otv.doc
#
21.04.2015893.34 Кб25MatAn_ch_5.pdf
#
21.04.2015667.19 Кб28MatAn_ch_6.pdf
#
02.09.2019266.63 Кб5Matan_shpory_1-42_5kol.docx
#
27.09.2019244.03 Кб5Matan_shpory_47-90_5kol.docx
#
01.09.2019218.98 Кб10Matan_teoria_chast_B_-_polnaya.docx
#
27.09.2019266.32 Кб7Matematichesky_analiz.docx