1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

=

2 +2

−

+

−

+...

−

3

−

+

−

+...

+5

+

+

+

+...

9

27

81

16

64

256

2

4

8

16

3

4

2

1

1

1

3

1

1

1

5

1

1

1

= 2 +

1−

+

−

+

...

−

1

−

+

−

+...

+

1+

+

+

+... .

3

3

9

27

4

4

16

64

2

2

4

8

Каждая из скобок представляет собой геометрический ряд

(5)

со

знаменателями

q

= −1

,

q

2

= −1 ,

q

= 1

соответственно,

причем сумма

1

3

4

3

2

b

каждого из них находится по формуле S =

. Поэтому сумма данного

1

−q

ряда

2

1

3

1

5

1

= 2 + 1 − 3 +5 = 6,9 .

S = 2 +

−

+

3

1+ 1

4

1+

1

2

1−

1

2 5

3

4

2

Упражнение 4. Найти сумму ряда 1+

1

+

1 +

1

+

1

+

1

+

1

+...

2

6

9

18

27

3

Пример 8. Исследовать сходимость ряда

1

+ 2 +

3

+

4

+...

3

11

15

7

Решение. Проверим выполнение необходимого условия сходи-

мости. Легко видеть, что a

n

=

n

и lim a

n

= lim

n

=

1 ≠

0, т.е. не-

4n −1

n→∞

n→∞ 4n −1

4

обходимое условие не выполнено, и ряд расходится.

Упражнение 5.

∞

−

1 n

Исследовать сходимость ряда ∑ 1

.

n=1

n

Упражнение 6.

∞

1 .

Исследовать сходимость ряда ∑nsin

n=1

n

n=1

дел lim

an+1

= d ≠1. Тогда при d <1 ряд сходится, а при d >1 ряд

n→∞

a

n

расходится.

∞

3

n

Пример 9. Исследовать сходимость ряда ∑

.

(n +

1)

2

n=1

Решение.

Поскольку a

=

3n

,

a

=

3n+1

, то

(n +1)2

(n +2)2

n

n+1

3n+1

(

)

(

)

2

3n+1

2

n +1

2

d = lim

n

+ 2

n +1

3 >1.

= lim

=

3lim

=

n

(n +2)

2

+2

n→∞

3

n→∞ 3n

n→∞

n

(n +1)2

Так как d >1, то ряд расходится.

∞

3

5

(n +2)

Пример 10. Исследовать сходимость ряда ∑

.

n=1

n!

Решение.

Поскольку a

=

3 (n +2)5

,

a

=

3

(n +3)5

, то

n!

(n

+1)!

n

n+1

3 (n +3)5

(

)

n 1 !

d = lim

(

+

)

= lim

n!3

n +3

5

= lim

1

3

n +3

5

= 0

<1.

(n +1)!3

(n +2)5

n→∞ 3

(n +2)5

n→∞

n→∞ n +1

n +2

n!

Поскольку d <1, то ряд сходится.

∞

n +1

Упражнение 7.

Исследовать сходимость ряда ∑

.

n

n=1

4

ского ряда с a = 1

, a

n+1

=

1

оказывается, что d = lim n +1 =1, и при-

n

n

n +1

n→∞ n

∞

∞

дов с положительными членами ∑an и

∑bn

удовлетворяют усло-

n=1

n=1

∞

вию an

≤bn (n =1, 2,...). Тогда из сходимости «большего» ряда ∑bn

∞

n=1

следует

сходимость «меньшего» ряда

∑an ,

а из расходимости

∞

∞

положительными членами ∑an

и ∑bn существует конечный предел

n=1

n=1

1 sin2 1+

1

sin2 2 +

1

sin2 3 +

1

sin2 4 +...

10

28

82

4

Решение.

Легко

видеть,

что

общий

член ряда равен

an =

1

sin2 n ,

а так как

sin2 n ≤1

и

1

<

1

, то общий член ряда

n

n

+1

n

3

+1

sin2 n

1

3

3

можно оценить сверху

≤

. В силу сходимости «большего» гео-

n

+1

n

3

3

1

метрического ряда со знаменателем

<1,

исходный «меньший» ряд

также сходится.

3

∞

4 +(−1)

n

Пример 12. Исследовать сходимость ряда ∑

.

n+1

n=1

n(2

−3)

Решение.

В силу

того, что 3 ≤ 4 +(−1)n ≤5 ,

и,

тем более

4 +(−1)n

≤ 5 для всех натуральных n , общий член исходного ряда оце-

n

(

)

5

нивается сверху

4 +

−1 n

≤

. Сравним теперь общий член ново-

n(2n+1 −3)

2n+1 −3

∞

5

го ряда

∑

со (сходящимся) геометрическим рядом с общим

2

n+1

−3

n=1

5

1

5 2n

5

5 ≠

членом

b =

:

lim

2n+1 −3

= lim

= lim

=

0. Согласно

2n

2n+1 −3

3

n

n→∞

1

n→∞

n→∞

2

2 −

2n

2n

Упражнение 8. Исследовать сходимость ряда

1+3

+

2 +32

+

3 +33

+....

1+7

4 +72

9 +73

∞

n4

+3n2 −2n + 4

Пример 13. Исследовать сходимость ряда ∑

.

3n

3

−2

n=1

общего члена

a =

n4

+3n2

−2n +4

. Для этого найдем разность стар-

n

3n3

−2

c =lim

a

n4 +3n2 −2n +4

n

n6

+3n4 −2n3

+4n2

1

1

n

=lim

=lim

=

=

≠0,

3n3 −2

(3n3 −2)2

n→∞ bn n→∞

1

n→∞

9

3

заключаем, что оба ряда расходятся.

∞

1

Упражнение 9. Исследовать сходимость ряда ∑

.

n=2 ln n

∞

3

3

n

4

+(−1)

n

Упражнение 10. Исследовать сходимость ряда ∑

.

n

2

n=1

+3n +7

∞

+∞

∑an и несобственный интеграл ∫ f

(x)dx сходятся или расходятся

n=1

1

одновременно.

Пример 14. С помощью интегрального признака обосновать сходи-

мость обобщенного гармонического ряда (4)

при α >1 и расходимость

при 0 <α <1.

1

Решение. Введем функцию

f (x)

=

, которая положительна и

xα

+∞∫

dxα

= limb→∞ ∫b

dxα = limb→∞

1

(x−α+1

1b )

=

1

limb→∞ (b−α+1 −1).

x

1−α

1

−α

1

1

x

При α >1 легко видеть, что lim b−α+1 = lim

1

= 0 и интеграл (а, соответ-

b→∞

b→∞ bα−1

ственно, и ряд) сходятся, а при 0 <α <1 легко видеть, что limb−α+1

=∞,

и ряд вместе с интегралом расходятся.

b→∞

∞