9BГ л а в а 3

10BФИНАНСОВЫЕ ПОТОКИ, РЕНТА

И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

В этой главе мы рассмотрим ряд экономических приложений изученного материала, связанных с понятием финансового потока.

25B3.1. Финансовое событие и финансовый поток

Введем сначала несколько определений. Мгновенным финансовым событием называется точка плоскости время-деньги (t,C ), где t − вре-

мя и C − соответствующая денежная сумма. В качестве финансового события может рассматриваться поступление (тогда C > 0 ) или выплата (тогда C < 0 ) денежной суммы в момент времени t . Дискретным финансовым потоком называется конечная или бесконечная последовательность финансовых событий (t0 ,C0 ), (t1,C1 ), (t2 ,C2 ), K, (tn ,Cn ),K,

где t0 <t1 <t2 <K<tn <K − время платежей, а C1,C2 ,K,Cn ,K − соответствующие суммы. Традиционно финансовый поток обозначается

тие счета на 150, пополнение его на 300 в конце года и последующее снятие со счета 100.

Пусть теперь CF ={(t0 ,C0 ),(t1 ,C1 ),K,(tn ,Cn ),K} − поток поступлений на накопительный счет, а начисление на накопленную сумму происходит по схеме сложных процентов при эффективной ставке r . Если t [tn ,tn+1 ), то накопленная сумма равна

C0 (1+r)t−t0 +C1 (1+r)t−t1 +K+Cn (1+r )t−tn

35

и называется будущим накопленным значением для момента t . Сумма же всех платежей денежного потока, приведенных к некоторому моменту t , называется текущим (или приведенным) значением потока и обозначается PVt :

Пример 1. Определить размер вклада, обеспечивающего ежегодное получение дохода 500 в течение неограниченного срока, если эффектив-

положено не менее 5000 .

Упражнение 1. Определить размер вклада, обеспечивающего ежегодное получение дохода 1500 в течение неограниченного срока, если эффективная ставка r =8% .

36

26B3.2. Постоянная рента

Далее мы будем рассматривать положительные потоки платежей, происходящих через равные промежутки времени. Такие финансовые потоки называют рентой. Промежуток времени между платежами называют периодом ренты. Будем также считать, что каждый платеж производится в конце периода. Соответствующую ренту называют обыкновенной, или рентой постнумерандо. Так как нас интересуют приложения, связанные с рядами, то мы будем преимущественно рассматривать бесконечные потоки платежей. Такие ренты называют вечными (бессрочными). Если все платежи равны между собой, то ренту называют постоянной. Последнюю можно представить в виде CF ={(0,0),(1, R),(2, R)K,(n, R),K}. Если период постоянной ренты ра-

вен одному году, то ее называют годовой, или аннуитетом.

Пример 2. Определить приведенную стоимость бесконечного потока платежей постоянной ренты относительно процентной ставки r .

Решение. По определению текущая стоимость потока платежей

{(0,0),(1, R),(2, R)K,(n, R),K} равна

Упражнение 2. Сравнить текущую стоимость вечной постоянной ренты при увеличении платежа R на 1% и при уменьшении ставки процента r на 1%.

Упражнение 3. Фирма арендует офисные помещения за 15 тыс. у.е. в год. Найти выкупную стоимость аренды, т.е. текущую стоимость А всех будущих арендных платежей при процентной ставке r =8% .

27B3.3. Арифметическая и геометрическая ренты

Рента называется арифметической, если периодические платежи изменяются линейно, т.е. каждый следующий платеж отличается от предыдущего на одну и ту же величину Q . Соответствующий финансовый

поток представим в виде

37

CF ={(1, R),(2, R +Q),(3, R +2Q),K,(n, R +(n −1)Q),K}

Пример 3. Определить приведенную стоимость бесконечного потока платежей арифметической ренты относительно процентной ставки r .

Решение. Текущая стоимость потока платежей арифметической ренты записывается как

Ясно, что первая из сумм представляет собой приведенную стои-

мость постоянной ренты и равна Rr . Для вычисления второй суммы сде-

лаем замену x = 1+1 r и получим

Итак, приведенная стоимость арифметической ренты находится по формуле A = Rr + rQ2 .

Упражнение 4. Фирма арендует офисные помещения за 5 тыс. у.е. в год, причем из-за расширения площадей стоимость аренды увеличивается на 1 тыс. у.е. в год. Найти выкупную стоимость аренды, т.е. текущую стоимость А всех будущих арендных платежей при процентной ставке r = 5% .

Рента называется геометрической, если каждый следующий платеж отличается от предыдущего на одно и то же число процентов q . Соот-

ветствующий поток годовой геометрической ренты представим в виде

CF ={(1, R),(2, R(1+q)),(3, R(1+q)2 ),K,(n, R(1+q)n−1 ),K}

38

Пример 4. Определить приведенную стоимость бесконечного потока платежей годовой геометрической ренты относительно процентной ставки r , если q < r .

Решение. Текущая стоимость потока платежей геометрической ренты записывается как

С учетом условия q < r сумма представляет собой геометрический-

ряд со знаменателем 11++qr , поэтому

39

11BЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

точке x0 = 2 и найти интервал сходимости полученного ряда.

10.Разложить функцию f (x)= ln (8 +2x − x2 ) в ряд Тейлора с центром x0 = −1 и найти интервал сходимости полученного ряда.

11.Вычислить приближенно cos π9 с точностью до 0,0001.

12.В модели бессрочного роста стоимость акции в начальный период

акцию, ожидаемые в n -й период, а r − ставка дисконта. Найти стоимость акции P0 , если дивиденды ежегодно увеличиваются на посто-

янную величину: Dn = D0 +na .

40