4. Положительность интеграла.

Пусть снова . Если,,, то.

Доказательство. Существует точка, гдеи такое число, что на интервалевыполнено неравенство. Поэтому

.

5. Интегральная теорема о среднем значении.

Определение. Средним значениемфункцииназывается число.

Геометрический смысл:− этовысотапрямоугольника,равновеликогокриволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и крайними ординатами.

Теорема 1.

1. Если, то.

2. Если же, то существует число, такое что, иначе говоря.

Обобщение. Пусть,, причем .

Определение. Средним взвешеннымзначением функцииназывается величина.

Теорема 2.

1. Если, то.

2. Если, то существует число, такое что, иначе говоря

.

Доказательство

1. Так какипри всех значениях, то на этом отрезке. Ввиду монотонности и линейности определенного интеграла отсюда следует неравенство

или.

2. Так как, то по теореме Вейерштрасса о максимуме (минимуме) существуют такие точки, что,. Таким образом, величиназаключена между значениями функциив точках. Следовательно, по теореме Коши о промежуточном значении существует точкав которой.

§7. Интеграл с переменным верхним пределом. Связь определённого и неопределённого интегралов.

Теорема 1. Пусть. В таком случае на отрезкеопределена функция. Более того,.

Доказательство. Так как, то.

Замечание. Нами доказано более сильное утверждение: функцияудовлетворяет условию Липшица.

Теорема 2. Пусть. В каждой точке, гденепрерывна, функциядифференцируема. При этом.

Доказательство. Пусть. Существует такое число, что

будет . В таком случае

, если. Следовательно,.

Замечание. .Действительно, .

Следствие 1. Если функциянепрерывна на отрезке, то у нее существует первообразная (это, например, − интеграл с переменным верхним пределом).

Следствие 2. (Формула Ньютона - Лейбница). Если, то

,

где − любая первообразная функция.

Символ “” называется знаком двойной подстановки.

Доказательство. Пусть снова, и пусть− произвольная первообразная функция. В таком случае, следовательно,

.

Замечание. Доказанную формулу можно записать в виде:.

Эта связь между определенным и неопределенным интегралами объясняет, почему для обозначения неопределённого интеграла используется тот же символ .

§8. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 1. Пустьи пусть. Тогда

.

Доказательство. В условиях теоремы 1., как мы знаем,.

Применяя формулу Ньютона - Лейбница с пределами к обоим неопределенным интегралам, получим требуемое равенство между определенными интегралами.

Теорема 2. Пусть. В таком случае

.

Доказательство. Как и при доказательстве предыдущей теоремы можно записать формулу интегрирования по частям для неопределённого интеграла и затем воспользоваться теоремой Ньютона – Лейбница.

Пример 1. Вычислить интегралы.

Решение. 1). Заменапоказывает, что.

2). .

Следовательно, и.

Пример 2. Вычислить интеграл.

Решение. Пусть, тогда,.

Пересчитаем пределы интегрирования:			1

.

Отметим, что нам не пришлось возвращаться к первоначальной переменной.

Пример 3. Доказать формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме:

если , то .

Доказательство. Обозначим. Интегрирование по частям даёт.

Суммируя эти равенства ,, получаем.

Остается учесть, что .