§10.Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области.

Напомним. Для отыскания наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке мы добавляли к критическим точкам функции, лежащим внутри отрезка, его граничные точки. Затем сравнивали значения функции во всех указанных точках и отбирали наибольшее (наименьшее) из них.

В многомерном случае мы будем действовать по той же схеме. Только в этом случае граница области не сводится к двум концевым точкам. Найдя критические точки функции, лежащие внутри области, необходимо искать точки, подозрительные по условному экстремуму вдоль частей границы. У плоской области обычно части границы − это дуги границы и концы этих дуг. В случае -мерной области приходится иметь дело с-мерными,-мерными, ,1-мерными (дугами), наконец 0-мерными (точками) частями границы.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

в замкнутой области .

Решение.

I. Критические точки функции в треугольнике.

,.

II. Отыскание критических точек функции вдоль отрезков границы.

1) . Обозначим. Критическая точка функции вдоль этой стороны −.

2) . Обозначим. Критическая точка функции вдоль этой стороны −.

3) ,. В предыдущей лекции мы нашли, что точка условного экстремума −.

III. Вершины треугольника:,,.

IV. Отобранные точки:,,,,,,.

V. , .

Пример 2. Пусть− среднее геометрическое положительных чисели− их среднее арифметическое. Доказать, что всегда справедливо неравенство .

Доказательство. Для доказательства требуемого неравенства можно свести её к следующей задаче найти наибольшее значение произведения положительных чиселпри условии, что. Так как

выписанные условия определяют замкнутое ограниченное множество в пространствеⁿ, то по теореме Вейерштрасса функцияпринимает в некоторых точках множествасвое наибольшее и наименьшее значения. Всюду на границеобращается в нуль. Поэтому своего наибольшего значениедостигает во внутренних точках. Для их отыскания применим метод неопределенных множителей Лагранжа.

Составляем функцию Лагранжа

и приходим к системе уравнений

.

Поэтому или. Извлекая корень степенииз обеих частей полученного неравенства, получаем. Ч и т.д.

Замечание. Применяя метод множителей, мы воспользовались только необходимыми условиями экстремума. Достаточные условия нам удалось обойти, сославшись на теорему Вейерштрасса о максимуме.

61