§2. Частные производные и производные по направлению. Градиент. Производное отображение.

Начнём со случая скалярной функции. Пусть и− внутренняя точка множества.

Определение 1. Если существует предел

,,

мы будем называть его частной производнойпо переменнойв точке, и обозначать. Точно так же, гдеорт стандартного базиса пространства.

Определение 2. Производнойпо векторув точкеназывается величина

.

В частности, если , то величинаназываетсяпроизводной по направлению. Отметим, что.

Пример 1. Пусть . Тогда .

Определение 3. Градиентом функциив точкеназывается вектор, имеющий в стандартном базисе координаты. Более краткое обозначение градиента.

Определение 4. Пусть.Матрицей Якóбиэтого отображения в точкеназывается матрица, состоящая из производных от каждой компоненты по каждой координате. Производная по векторуопределяется так же, как и раньше.

Определение 5. Отображениеназываетсядифференцируемымв точке, если его полное приращениеможет быть представлено в виде

, где− линейный оператор, то есть отображение, обладающее свойством линейности:. Оператордействует изв.Он называется производным отображением и обозначается. Выражениеназывается дифференциалом и обозначается.

Почти очевидно, что из дифференцируемости следует непрерывность.

Теорема 1. (Необходимое условие дифференцируемости). Если отображениедифференцируемо в точке, то в этой точке существуют производные по любому вектору. При этом. В отличие от случая функций одной переменной, из существования производных не следует дифференцируемость отображения.

Доказательство. Пусть. Тогда

.

Поэтому . Отсутствие обратной импликации видно, например, из следующего контрпримера.

Контрпример. Пусть. У этой функции существует производная в точкепо любому векторуи эта производная равна. Если бы функция была дифференцируемой в точке, выражениелинейно зависело бы от вектора. В частности, было бы, то есть. На самом же деле.

Следствие.Если отображениедифференцируемо в точке, то в этой точке существуют все частные производные, а матрицей линейного операторав стандартном базисе является матрица Якоби.

Доказательство. Обозначимматричные элементыв базисе. Тогда будет.

Теорема 2. (Достаточное условие дифференцируемости). Если все частные производныесуществуют в окрестности точкии непрерывны в самой точке, то отображениедифференцируемо в этой точке.

Доказательство. Достаточно при указанных условиях доказать дифференцируемость скалярной функции, то есть одной компоненты отображения. Метод доказательства лучше понять в случае. Мы имеем

, гдезаключено между числами, азаключено между числами. Еслистремятся к нулю, тотакже стремятся к нулю. Воспользовавшись непрерывностью производныхив точке, получим. Ч и т.д.

§3. Свойства градиента. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

1^о. Рассмотрим скалярное поле, то есть функцию . Если функцияfдифференцируема в точке, то, как мы уже знаем,. В нашем случае это означает, что

или.

Неравенство Коши показывает, что . Равенство здесь возможно лишь, если векторыиколлинеарны.

Так как направляющие косинусы вектора равны, то векторединичной длины равен. Мы получаем формулу для вычисления производной по направлению:

.

Мы видим, что производная по направлению вектора принимает наибольшее значение, если этот вектор коллинеарен вектору. Равно это наибольшее значение. Отсюда следует, что градиенту можно дать инвариантное (бескоординатное) определение.

Определение. Градиент функциив точке− это вектор,длинакоторого равна наибольшей из производных по всевозможным направлениям в точке.Направлениеградиента совпадает с направлением наиболее быстрого возрастания функции в этой точке.

Мы видим, что градиент скалярного поля (функции) не зависит от выбора координат, а определяется самим полем.

Отметим, что по направлению “минус градиента” функция быстрее всего убывает, а по направлениям, перпендикулярным к градиенту, функция имеет нулевую скорость изменения, так как, если, то.

2^о. Пусть функция дифференцируема в точке. Рассмотрим плоскость с уравнением

,

где ,.

Ясно, что , когда. Эта плоскость в окрестности точкиприлегает теснее, чем любая другая плоскость к поверхности. Она называетсякасательной плоскостьюк поверхности в точке.

Перпендикулярная к ней прямая линия, также проходящая через точку , называетсянормалью к поверхности. Её канонические уравнения имеют вид

.

Пусть теперь поверхность задаётся неявным уравнением , и пустьдифференцируема в точке, лежащей на этой поверхности, причем градиентотличен от нуля в этой точке (такая точка называетсярегулярной). Тогда градиент перпендикулярен к поверхности нулевого уровня данной функции, то есть к поверхности(точнее к её касательной плоскости). В этом случае касательную плоскость и нормаль к поверхности можно задать уравнениями

.

Пример. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к эллипсоидув точке.

Решение.Прежде всего, т.принадлежит данной поверхности, т.к..

1-й способ:. Следовательно,,,. Поэтому уравнение касательной плоскости имеет вид:или, а канонические уравнения нормали:.

2-й способ. Т.к., то,. Можно считать, что нормальный вектор касательной плоскости равен. Поэтому получаем уравненияи.

Упражнение.Доказать, что уравнение касательной плоскости к эллипсоиду с уравнениемв точке, лежащей на этой поверхности, имеет вид.