§4. Производная композиции (сложной функции).

Рассмотрим отображения ,и их композицию, т.е..

Теорема. Если отображениедифференцируемо в точке, адифференцируемо в точке, то их композициядифференцируема в точке. При этом, т.е. производная композиции равна композиции производных отображений.

Доказательство. При условиях теоремы будет

и .

Поэтому получим . Ч и т.д.

В матричном виде это выглядит следующим образом:

.

Пример 1. Пусть, где,и. Здесь. В матричном виде получаем

,

или в подробной записи: .

Пример 2.Найти полный дифференциал функции двух переменных. Использовать дифференциал для приближенного вычисления значения.

Решение. Как мы знаем, , т.е. полный дифференциал функции равен сумме её частных дифференциалов, поэтому.

В нашем примере удобно считать, что . Тогда будет,. Отсюда следует, чтои.

Упражнение. Дать новый вывод формулы

.

§5. Неявные функции и их производные.

Рассмотрим вопрос о существовании “неявной функции”. В простейшем случае − это вопрос о существовании функции , являющейся решением уравненияи удовлетворяющей начальному условию. Начнём с функции. Ясно, что в этом случае, если 1), 2), то, при этом. Возвращаясь к уравнениюи рассуждая не строго, получаем:

, откуда следует равенство.

Перейдём теперь к аккуратному изложению.

Теорема. Предположим, что функцияудовлетворяет следующим трём условиям:

1) ;

2) инепрерывны в окрестности точки;

3) .

В таком случае существуют положительные числа и функция, для которой в прямоугольникеусловияиравносильны. На отрезкефункциянепрерывно дифференцируема, а её производная равна.

Доказательство.

1. Выбираем прямоугольную окрестностьтакую, что впроизводныеинепрерывны,сохраняет знак (например “+”) исохраняет знаки (противоположные) на основаниях этого прямоугольника.

2. Из пункта 1. вытекает, что существует единственная функциятакая, что в прямоугольникеусловияиравносильны.

3. Докажем непрерывность функции, то есть докажем, что для любого значениябудет. Предположим противное. Но тогда существовала бы последовательность чисел, для которой. Из непрерывностиследует, а это противоречит тому, что единственное решение уравненияв прямоугольникеесть.

4. Докажем теперь существование производнойи выведем для нее формулу. Пустьи. Тогда будет

, где.

Отсюда следует, что

,,

так как из-за доказанной в пункте 3 непрерывности. Таким образом,.

5. Наконец, функциянепрерывна на отрезкеввиду непрерывности функцийв рассматриваемой области и того, что там. Теорема полностью доказана.

Обобщение*. Пустьи, то естьи пусть выполнены условия:

1. ;

2. в окрестности точкинепрерывны все частные производные;

3. определитель матрицыотличен от нуля.

В таком случае в некоторой “прямоугольной” окрестности начальной точки уравнение (точнее, система уравнений)однозначно разрешима в виде, Здесь− непрерывно дифференцируемое отображение, причем.

Теорема об обратном отображении*. Пусть− непрерывно дифференцируемое отображение в окрестности точкии производное отображениепредставляет собой обратимый оператор. В таком случае в окрестности точкисуществует обратное отображение. Отображениетакже непрерывно дифференцируемо и при этом, где.

Эта теорема выводится из предыдущей теоремы о, Для этого достаточно применить теорему о неявной функции к уравнению , где.

Пример. Найти, если функциязаданна неявным уравнением, а− точка с координатами.

Решение. Так как уравнение можно переписать в виде, где.− функция классаво всей плоскости. Причем,. По теореме этого параграфа

;.

;.