7. Квазичастицы в полупроводниках. Закон дисперсии. Понятие дырки. Квазиимпульс. Эффективная масса.

Квазичастицы хар-ся квазиимпульсом и квазиволновым вектором.

Закон дисперсии. Закон дисперсии - зависимость энергии от квазиимпульса в разрешенной зоне. Закон дисперсии удобно изображать графически. Обычно пользуются одним из двух представлений.

Во-первых, можно фиксировать две из трех компонент квазиимпульса. Пусть, например, фиксированы компоненты и. Тогда зависимостьопределяет некоторую кривую на плоскости (,). Кривые такого типа называются дисперсионными. Совокупность их, соответствующая различным значениями, полностью характеризует закон дисперсии.

Во-вторых, можно фиксировать значение энергии в l-той зоне, полагая, что (1). Уравнение (1) определяет поверхность в трехмерном пространстве квазиимпульсов. Ее называют изоэнергетической (или поверхностью равных энергий). Придавая различные значения константе, стоящей в правой части (1), и задавая форму соответствующей изоэнергетической поверхности, мы полностью описываем закон дисперсии.

Понятие дырки. Рассмотрим полностью заполненную валентную зону полупровод­ника, содержащую М электронов. Электроны полностью заполненной зоны не могут участвовать в электропроводно­сти, ток, создаваемый ими, равен нулю (почему?): , где - ток, создаваемый j-м электроном.

Пусть под действием термической ионизации один электрон перешел из валентной зоны в зону проводимости. Ток, создавае­мый оставшимися М-1 электронами, равен .Ток, создаваемый электронами полностью заполненный зоны, из которой удален один электрон, равен по величине и противоположен по направлению току, создаваемому одним удаленным электроном, но точно такой же ток создает частица с положительным зарядом и положительной эффективной массой, помещенная на незанятое место удаленного электрона (рис.2.13,б). Такая частица, точнее квазичастица, называется дыркой. Если удаленный электрон обладает зарядом е, эффективной массой , квазиимпульсом, скоростью, спином, то дырке необходимо приписать следующие свойства:,,,,.

В состоянии термодинамического равновесия электроны стремятся занять самые низкие энергетические состояния. Если незанятое состояние находится в глубине валентной зоны, то электроны с более высших уровней стремятся занять это состояние. В результате незаполненное состояние – дырка поднимается к потолку валентной зоны подобно пузырьку воздуха в воде. Это означает, что направления отсчета энергии дырок и электронов противоположны друг другу: .Наименьшей энергией обладают дырки вблизи потолка валентной зоны. Для них справедливо введенное ранее представление об эффективной массе. С точки зрения зонной теории дырочная проводимость полупроводника обусловлена электронами почти заполненной валентной зоны, а концентрация дырок р определяется числом свободных состояний в этой зоне. В то же время с точки зрения статистики дырку можно определить как незанятое электроном состояние на энергетическом уровне Е, поскольку дырка помещается на место удаленного электрона. Поэтому вероятность заполнения энергетического уровня Е дыркой будет равна вероятности отсутствия на этом уровне электрона: , гдефункция распределения Ферми - Дирака.Подобно электронам зоны проводимости, образующим электрон­ный газ, дырки валентной зоны образуют дырочный газ, который может быть вырожденным или невырожденным. При этом полный ток в полупроводнике складывается из токов, создаваемых электронами зоны про­водимости и дырками валентной зоны. Квазиимпульс. Состояние электрона, свободно движущегося в пространстве, как известно, можно охарактеризовать энергией Е и импульсом Р. При этом связь между энергией и импульсом дается формулой .Согласно де Бройлю свободному электрону массы , движущемуся со скоростьюv, соответствует волна, длина которой может быть определена из соотношения , гдеh — постоянная Планка.

Так как волновое число — число волн, укладывающихся на длине см, равно:, то импульс свободного электрона, а его энергия, где- квант действия.Для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, можно ввести величину , называемуюквазиимпульсом. В соответствии с дискретным спектром k (;;,=0,,,…;=0,,,…;=0,,,…, где,,- размеры кристалла в форме параллелепипеда) квазиимпульср также должен принимать ряд дискретных значений. Т.к. компоненты вектора k - ,,-находятся в интервалах от до, то в кубической решетке квазиимпульс должен изменяться в пределах,i=x,y,z.

Энергия электрона в кристалле – четная функция квазиимпульса, т.е. .

Эффективная масса.Уравнение Шредингера для электрона в кристалле (2.1): отличается от уравнения Шредингера для свободного электрона (1.3):наличием периодического потенциала решетки. Предположим, что вместо уравнения (2.1) можно записать эквива­лентное ему уравнение:(2.7), в котором отсутствует периодический потенциал решетки, а его влия­ние учитывается путем введения некоторой неизвестной величины, имеющей размерность массы.

Закон дисперсии, получаемый из решения уравнения (2.7), имеет вид, аналогичный закону дисперсии для свободного электрона (1.5): , т.е. энергияквадратично зависит от вектора . В то же время, как было рассмотрено выше, зависимость , получаемая из решения уравнения (2.1), является некоторойпериодической функцией вектора . Таким образом, уравнение (2.1) можно пред­ставить в виде (2.7) только для тех областей спектра электрона, где его энергия квадратично зависит от квазиволнового вектора. Рассмотрим на примере одномерного кристалла, когда это имеет место.

Закон дисперсии для электрона в одномерном кристалле представляет собой периодическую функцию, имеющую экстремумы вблизи потолка и дна разрешенной зоны. В силу симметрии зоны Бриллюэна в центре ее всегда имеется экстремум энергии. Разложим функцию в ряд Тейлора вблизи точкиk = 0 и ограничимся квадратичным членом разложения: . По определению экстремума . Принимая за начало отсчета энергии величину, получаем(2.9).

Сравнивая выражения (2.8) и (2.9), можно видеть, что они совпадают, если в качестве взять величину (2.10). Величина называется эффективной массой электрона. Таким образом, уравнение (2.7) оказывается справедливым для электронов, находящихся вблизи экстремумов энергии, т.е. вблизи дна и потолка разрешенной зоны. Движение таких электронов в кристалле можно рассматривать как движение свободных электронов, если припи­сать электрону массу , отличную от массы свободного электрона т.