Определение положения уровня Ферми

В предыдущих рассуждениях мы считали, что уровень Ферми задан. Посмотрим теперь, как можно найти положение уровня Ферми.

Для собственного полупроводника уравнение электронейтральности приобретает вид p – n = 0 или p = n. Если ширина запрещенной зоны полупроводника достаточно велика (E_g много больше kT) и если эффективные массы электронов m_n и дырок m_p одного порядка, то уровень Ферми будет достаточно удален от краев зон (E_C – F > 2kT и F – E_V > 2kT) и полупроводник будет невырожденным.

Подставляя (1.10) и (1.13) в уравнение p + p_D – n – n_A = 0, имеем:

. (1.20)

Отсюда вычисляем F. Уравнение (1.20) – это уравнение первого порядка относительно .

Это дает

(1.21)

где через E_i = ½(E_V + E_C) обозначена энергия середины запрещенной зоны. При выводе правого выражения для F величина (N_C/N_V) была заменена на (m_n/m_p) с помощью уравнения (1.11).

Для случая m_n^* = m_p^* энергия Ферми в собственном полупроводнике находится посреди запрещенной зоны F = (E_C + E_V)/2.

Положение уровня Ферми зависит от того, какие другие величины заданы. Если известны концентрации носителей заряда в зонах n и p, то значение F можно определить из формул (1.10) и (1.13). Так, для невырожденного полупроводника n‑типа имеем:

. (1.22)

Аналогично для невырожденного полупроводника p‑типа

. (1.23)

Из выражений (1.22 и 1.23) видно, что чем больше концентрация основных носителей, тем ближе уровень Ферми к краю соответствующей зоны. Для донорного полупроводника n₀ = N_D (1.17), тогда

. (1.24)

Для акцепторного полупроводника p₀ = N_A (1.19), тогда

. (1.25)

10. Механизмы рассеяния электронов и дырок

При рассмотрении движения носителей заряда в идеальном периодическом поле кристаллической решетки было установлено, что электроны и дырки движутся как свободные частицы. В реальном кристалле электроны и дырки совершают сложные траектории движения из-за соударений с дефектами решетки. Поскольку дефекты, искажающие периодичность поля решетки и являющиеся центрами рассеяния, имеют разную природу, то они будут обусловливать и различные механизмы рассеяния носителей заряда. В полупроводниках центрами рассеяния могут быть тепловые колебания решетки и статические дефекты, такие как атомы и ионы примеси, вакансии, дислокации, границы двойников и кристаллитов. Для количественной оценки процесса рассеяния вводится параметр а, называемый эффективным сечением рассеяния. Предположим, что имеется п свободных электронов, которые со средней тепловой скоростью V_о движутся в данном направлении. Тогда пV₀ есть плотность потока электронов, т. е. количество электронов, проходящих в единицу времени через единичную площадку образца, перпендикулярную направлению их скорости. Допустим, что на пути потока электронов в единичном сечении образца имеется N одинаковых центров рассеяния. Каждый центр характеризуется эффективным сечением, равным у. Это, по существу, то пространство вокруг центра, в области которого имеет место рассеяние электронов. Поэтому количество рассеянных электронов в единицу времени п, определяется эффективным сечением у, количеством центров рассеяния N и плотностью падающего потока электронов nV₀, т. е. n₁=уNnV₀ (1) Если W — вероятность рассеяния одной частицы в единицу времени, то количество рассеянных электронов в единицу времени п₁ есть n₁=Wn (2) Тогда на основании (1) и (2) можно написать у=n₁/NnV₀ (3)

Эффективное сечение рассеяния о есть отношение числа электронов, удаленных из пучка в результате рассеяния на одном центре в единицу времени, к плотности падающего пучка частиц. Эффективное сечение рассеяния имеет размерность площади [у]=[W]/[NV₀]=T^-1/L^-3LT^-1=L² (3) Из формулы (3) найдем, что вероятность рассеяния W=уNV₀ (4) Следовательно, вероятность рассеяния или вероятность столкновения определяется эффективным сечением, количеством центров рассеяния и скоростью движения носителя заряда. В то же время вероятность столкновения обратно пропорциональна времени свободного пробега: W=1/ф (5). Поэтому время свободного пробега и длину свободного пробега можно выразить через эффективное сечение. Из (4) и (5) следует, что ф=1/уNV₀ (6) или l=1/уN

Величина l^-1=уN есть вероятность рассеяния на единичном интервале пути. Рассмотрим случай, когда имеются различные центры рассеяния. Пусть 1-й центр характеризуется эффективным сечением у_i, и число таких центров равно N_i. Механизм рассеяния на этих центрах определяет длину свободного пробега l_i. Если все процессы рассеяния возможны, то согласно теории вероятности полная вероятность рассеяния в единицу времени будет определяться суммой отдельных вероятностей рассеяния W=УW_i(8)

Так как Уу_iN_i то полная длина свободного пробега согласно (4) и (8) может быть определена из соотношения l^-1=Уl^-1_i (9)

Согласно (9) полная длина свободного пробега всегда меньше самой малой парциальной длины свободного пробега.

Поскольку роль дефектов в процессе рассеяния носителей заряда различна, поэтому различные дефекты должны иметь разное эффективное сечение. Для их количественной оценки за эффективное сечение рассеяния а примем площадку, в пределах которой возможно взаимодействие между носителем заряда и дефектом.

Такие дефекты, как вакансии, междуузельные атомы, во многих отношениях сходны с примесями замещения. Эти дефекты называются точечными дефектами. Для них за 0 можно принять площадь квадрата со стороной, равной постоянной решетки, т. е. у_А=(5*10^-8)²=3*1О^-15см². Если предположить, что концентрация атомов примеси N_А=10¹⁶см^-3, то длина свободного пробега при рассеянии носителей заряда на атомах примеси будет составлять l_А=(3*10^-15*10^-16)^-1=3*10^-2см=300мкм.

Для иона примеси будем считать, что его диаметр в 10 раз больше диаметра примесного центра, т.е. у₁=(5*10^-8*10)²=3*10^-13см². В случае, если N₁=10¹⁶см^-3, то l₁=3*10^-4см=3мкм.

Дислокации являются линейными дефектами, простирающимися на большие области кристалла. Предположим, что линейная дислокация имеет длину 0,1 см, а ее диаметр измеряется сотней периодов решетки. В этом случае площадь ее осевого сечения равна 5*10^-8X100*10^-1=5*10^-7 см². При объемной плотности дислокаций N_д=10⁸см^-3 длина свободного пробега будет порядка l_О=2*10^-2см=200мкм. Границы двойников и кристаллитов, а также дефекты упаковки представляют собой двумерные нерегулярности. Они имеют место в блочных кристаллах и поликристаллических образцах.

Эффективное сечение рассеяния на тепловых колебаниях ре­шетки определяется S сечения области, которую занимает колеблющийся атом без площади сечения самого атома. Если считать, что амплитуда колебаний порядка r=0,05нм=5*10^-9 см, а диаметр атома d =10^-8см, то у_Т=(d+r)²-d²=2rd=10^-16см². Это значение много меньше, чем для других центров рассеяния, но число колеблющихся атомов велико: N_T=10²²см^-3, поэтому l_T = 10^-6см=0,01 мкм.

Как оказывается, описание процессов рассеяния при помощи времени релаксации возможно, если столкновения частиц упругие, т. е. такие, при которых энергия носителя заряда мало изменяется, и если про­цессы рассеяния приводят к случайному распределению носителей заряда по скоростям, т. е. имеет место равновероятное рассеяние носителей заряда по всем направлениям.

Допустим, что в момент времени t = 0 на систему, описываемую неравновесной функцией распределения f, перестали действовать внешние возмущения (выключаются поля) и полевой член обращается в нуль. В результате процессов соударений система придет в равновесное состояние, описываемое равновесной функцией распределения f₀. Это значит, что после выключения внешнего поля функция распределения изменяется благодаря наличию соударений электронов с дефектами решетки: df/dt=(df/dt)_ст (1)

В том случае, когда отклонение распределения носителей заряда от равновесного состояния невелико, можно положить, что в отсутствие внешних полей скорость изменения функции распределения вследствие соударений пропорциональна величине отклонения функции от равновесия, т. е. пропорциональна f - f₀: df/dt=(df/dt)_ст=(f-f₀)/ф(k) (2) где 1/ф(к) - коэффициент пропорциональности, зависящий от к. Решая уравнения (2), получаем: f-f₀=(f-f₀)_t=0e^-t/ф (3)

Из (3) следует, что после прекращения действия внешних полей разность (f—f₀) уменьшается по экспоненциальному закону с постоянной времени х, которая носит название времени релаксации. Следовательно, ф есть среднее время, в течение которого в системе существует неравновесное распределение носителей заряда после снятия внешних полей.