Вопрос 4 .Уравнение Шредингера для электрона в кристалле. Эффективная масса.

Уравнение Шредингера для электрона в кристалле (2.1): отличается от уравнения Шредингера для свободного электрона : наличием периодического потенциала решетки U(r). Запишем вместо уравнения (2.1) эквивалентное ему уравнение: (2.7), в котором отсутствует периодический потенциал решетки, а его влияние учитывается путем введения некоторой неизвестной величины m^*_n, имеющей размерность массы. Закон дисперсии, получаемый из решения уравнения (2.7), имеет вид, аналогичный закону дисперсии для свободного электрона : E()=(2.8) т.е. энергия квадратично зависит от вектора . В то же время зависимость Е() , получаемая из решения уравнения (2.1), является некоторой периодической функцией вектора . Т.о. уравнение (2.1) можно представить в виде (2.7) только для тех областей спектра электрона, где его энергия квадратично зависит от квазиволнового вектора .

Закон дисперсии для электрона в одномерном кристалле представляет собой периодическую функцию, имеющую экстремумы вблизи потолка и дна разрешенной зоны. В силу симметрии зоны Бриллюэна в центре ее всегда имеется экстремум энергии. Разложим функцию Е(k) в ряд Тейлора вблизи точки к = 0 и ограничимся квадратичным членом разложения: E(k)=E(0)+. По определению экстремума = 0. Принимая за начало отсчета энергии величину Е(0), получаемE(k)= (2.9)

Выражения (2.8) и (2.9) совпадают, если в качестве m^*_n взять величину (2.10) Величина m^*_n – эффективной массой электрона. Т.о.,уравнение (2.7) справедливо для электронов, находящихся вблизи экстремумов энергии, т.е. вблизи дна и потолка разрешенной зоны. Движение таких электронов в кристалле рассматривается как движение свободных электронов, если приписать электрону массу m^*_n, отличную от массы свободного электрона m. Рассмотрим трехмерный случай, полагая при этом, что экстремум энергии находится в некоторой точке ₀ зоны Бриллюэна. Разлагая функцию Е() в ряд и ограничиваясь квадратичными членами разложения, получаемE()=E()+=E(₀)+(2.11)

где а,bнезависимо могут принимать значения х, у,z, а выражение=определяет тензоробратной эффективной массы. Поскольку велична второй производной не зависит от порядка дифференцирования, тензор симметричен:m_ab=m_ba. Симметричный тензор в главных осях приводится к диагональному виду, при котором все члены, не стоящие на главной диагонали, обращаются в нуль: ==

Т.о. и в общем случае вблизи точки экстремума энергия квадратично зависит от квазиволнового вектора, и электрону можно приписать эффективную массу. Однако эффективная масса зависит от направления движения электрона и характеризуется тремя компонентами тензора эффективной массы: m, m , m Используя диагональный вид тензора обратной Эффективной массы, разложение (2. 11) можно записать в виде

E()-E()= Для Е()=const – это уравнение изоэнергетической поверхности, которая представляет собой эллипсоид, полуоси которого определяются компонентами тензора эффективной массы. Для многих кристаллов, например, для германия и кремния, ==,=и изоэнергетическая поверхность представляет собой эллипсоид вращения вокруг оси к_z :