3. Статистика электронов и дырок. Функции распределения. Плотность квантовых состояний в зоне.

Процессами, приводящими к образованию сво­бодных электронов и дырок, являются:

1) переход электронов из ва­лентной зоны в зону проводимо­сти с образованием пары свобод­ных носителей - электрона и дырки;

2) переход электрона с донорного уровня в зону проводимости с образованием свободного электро­на и положительно заряженногоиона донорной примеси N⁺_d;

3) переход электрона из ва­лентной зоны на акцепторный уровень с образованием свободной дырки и отрицательно заряженного иона акцепторной примеси N^-_a .

Электроны, перешедшие в зону проводимости, занимают состоя­ния с наименьшей энергией. Т.к. энергия дырок отсчитывается вниз, они за­нимают состояния с наименьшей энергией вблизи потолка валентной зоны.

Для нахождения равновесных концентраций электронов n₀ и дырок p₀ необходимо знать плотности квантовых состояний в обеих зонах и вероятности заполнения каждого квантового состояния.

Плотность квантовых состояний

Электроны вблизи дна зоны проводимости ведут себя как свободные частицы, если им приписать эффективную массу m^*_n .

Рассмотрим плотность квантовых состояний для электронов в зоне проводимости в предположении, что эффективная масса электронов m^*_n – скаляр. Закон дисперсии для электронов в зоне проводимости (2.8) E( )= совпадает с законом дисперсии для электронов в модели Зоммерфельда. Тогда плотность квантовых состояний в зоне проводимости g_n(E): g_n(E)= ( ) (E-E_c) В общем случае эффективная масса электрона является тензором второго ранга и описывается тремя компонентами: m^*₁ , m^*₂ , m^*₃, а числа эквивалентных минимумов в зоне проводимости равно M_c>1. Расчёт даёт выражение g_n(E)= ( ) (E-E_c) , где m_c= – эффективной массой плотности состояний для электронов.

В кремнии в 1 и зоне Бриллюэна имеется шесть минимумов энергии: Мс = 6, а компоненты тензора эффективной массы m^*₁ = m^*₂ = m^*_t =0,19m, m^*₃= m^*_l=0,98m Отсюда m_c = 1,08m

Аналогично рассчитывается плотность квантовых состояний g_р(Е) для дырок в валентной зоне. Полагая началом отсчёта энергии потолок валентной зоны и считая эффективную массу дырок скаляром, получаем валентной зоны и g_p(E)= ( ) (E -E) При сложном строении валентной зоны аналогично можно ввести массу плотности состояний m для дырок. Например, в кремнии имеются два вида дырок в валентной зоне с эффективными массами m^*_pл = 0,16m и m^*_pt = 0,49m. Для них можно ввести m_v=( m^*_pл + m^*_pt ) =0,56m При этом плотность квантовых состояний для дырок в валентной

зоне запишется в виде g_n(E)= ( ) (E -E)

Функция распределения

В качестве основной функции, применяемой при статистическом методе описания, выступает функция распределения, которая определяет статистические характеристики рассматриваемой системы. Функция распределения дает возможность рассчитывать все наблюдаемые термодинамические параметры системы. Рассмотрим какую-либо макроскопическую систему, состояние которой описывается некоторым параметром , принимающим дискретных значений: , , ..., . Пусть при проведении над системой измерений были получены следующие результаты: значение наблюдалось при измерениях, значение наблюдалось соответственно при измерениях и т.д. При этом, очевидно, что общее число измерений равняется сумме всех измерений , в которых были получены значения : . Увеличение числа проведенных экспериментов до бесконечности приводит к стремлению отношения к пределу .  Величина называется вероятностью измерения значения .  Вероятность принимает значения в интервале . Значение – ни при одном измерении не наблюдается значение , т.е. система не может иметь состояние, характеризующееся параметром . Вероятность – при всех измерениях наблюдалось только значение ,т.е.система находится в детерминированном состоянии с параметром . (5.2)  Условие (5.2) указывает на то, что если набор возможных дискретных значений , , является полным, то при любых измерениях параметра должны наблюдаться значения этого параметра только из указанного набора . Такие параметры как температура, давление, внутренняя энергия и т.д., обычно принимают непрерывный ряд значений. Переменные, характеризующие движение микрочастиц (координата и скорость), изменяются непрерывным образом.

     Рассмотрим статистическое описание, когда измеренный параметр принимает значения . Причем, параметр может изменяться от до ( координаты молекулы газа для случая неограниченной среды). Пусть в результате измерений установлено, что величина с вероятностью попадает в интервал значений от до . Тогда функция характеризуюет плотность распределения вероятностей:  Это – функцией распределения. должна удовлетворять условию: . Вероятность того, что измеренное значение попадет в интервал равна . Тогда (5.5)

Выражение(5.5)–условие нормировки функции распределения. позволяет определить среднее значение любой функции : (5.6)  Если состояние системы характеризуется двумя параметрами и , то вероятность её нахождения в состоянии со значениями этих параметров в интервалах и соответственно равна , где - двумерная функция распределения. Примером такой функции может служить совместное распределение для координат и скоростей молекул газа. Для бесконечно малых интервалов и вероятность можно представить в виде . В случае статистической независимости значений параметров и друг от друга двумерная функция распределений равна произведению функций распределения и :