3. Статистика электронов и дырок. Функции распределения. Плотность квантовых состояний в зоне.

Процессами, приводящими к образованию сво­бодных электронов и дырок, являются:

1) переход электронов из ва­лентной зоны в зону проводимо­сти с образованием пары свобод­ных носителей - электрона и дырки;

2) переход электрона с донорного уровня в зону проводимости с образованием свободного электро­на и положительно заряженногоиона донорной примеси N⁺_d;

3) переход электрона из ва­лентной зоны на акцепторный уровень с образованием свободной дырки и отрицательно заряженного иона акцепторной примеси N^-_a .

Электроны, перешедшие в зону проводимости, занимают состоя­ния с наименьшей энергией. Т.к. энергия дырок отсчитывается вниз, они за­нимают состояния с наименьшей энергией вблизи потолка валентной зоны.

Для нахождения равновесных концентраций электронов n₀ и дырок p₀ необходимо знать плотности квантовых состояний в обеих зонах и вероятности заполнения каждого квантового состояния.

Плотность квантовых состояний

Электроны вблизи дна зоны проводимости ведут себя как свободные частицы, если им приписать эффективную массу m^*_n .

Рассмотрим плотность квантовых состояний для электронов в зоне проводимости в предположении, что эффективная масса электронов m^*_n – скаляр. Закон дисперсии для электронов в зоне проводимости (2.8) E()= совпадает с законом дисперсии для электронов в модели Зоммерфельда. Тогда плотность квантовых состояний в зоне проводимости g_n(E): g_n(E)=( ) (E-E_c) В общем случае эффективная масса электрона является тензором второго ранга и описывается тремя компонентами: m^*₁ , m^*₂ , m^*₃, а числа эквивалентных минимумов в зоне проводимости равно M_c>1. Расчёт даёт выражение g_n(E)=( ) (E-E_c) , где m_c=– эффективной массой плотности состояний для электронов.

В кремнии в 1 и зоне Бриллюэна имеется шесть минимумов энергии: Мс = 6, а компоненты тензора эффективной массы m^*₁ = m^*₂ = m^*_t =0,19m, m^*₃= m^*_l=0,98m Отсюда m_c = 1,08m

Аналогично рассчитывается плотность квантовых состояний g_р(Е) для дырок в валентной зоне. Полагая началом отсчёта энергии потолок валентной зоны и считая эффективную массу дырок скаляром, получаем валентной зоны и g_p(E)=( ) (E-E) При сложном строении валентной зоны аналогично можно ввести массу плотности состояний m для дырок. Например, в кремнии имеются два вида дырок в валентной зоне с эффективными массами m^*_pл = 0,16m и m^*_pt = 0,49m. Для них можно ввести m_v=( m^*_pл+ m^*_pt)=0,56m При этом плотность квантовых состояний для дырок в валентной

зоне запишется в виде g_n(E)=( ) (E-E)

Функция распределения

В качестве основной функции, применяемой при статистическом методе описания, выступает функция распределения, которая определяет статистические характеристики рассматриваемой системы. Функция распределения дает возможность рассчитывать все наблюдаемые термодинамические параметры системы. Рассмотрим какую-либо макроскопическую систему, состояние которой описывается некоторым параметром , принимающимдискретных значений:,, ...,. Пусть при проведении над системойизмерений были получены следующие результаты: значениенаблюдалось приизмерениях, значениенаблюдалось соответственно приизмерениях и т.д. При этом, очевидно, что общее число измеренийравняется сумме всех измерений, в которых были получены значения:. Увеличение числа проведенных экспериментов до бесконечности приводит к стремлению отношенияк пределу .  Величина называетсявероятностью измерения значения .  Вероятностьпринимает значения в интервале. Значение– ни при одном измерении не наблюдается значение, т.е. система не может иметь состояние, характеризующееся параметром. Вероятность– при всех измерениях наблюдалось только значение,т.е.система находится в детерминированном состоянии с параметром. (5.2)  Условие (5.2) указывает на то, что если набор возможных дискретных значений ,, является полным, то при любых измерениях параметрадолжны наблюдаться значения этого параметра только из указанного набора. Такие параметры как температура, давление, внутренняя энергия и т.д., обычно принимают непрерывный ряд значений. Переменные, характеризующие движение микрочастиц (координата и скорость), изменяются непрерывным образом.

     Рассмотрим статистическое описание, когда измеренный параметр принимает значения. Причем, параметрможет изменяться отдо( координаты молекулы газа для случая неограниченной среды). Пусть в результате измерений установлено, что величинас вероятностьюпопадает в интервал значений отдо. Тогда функцияхарактеризуюет плотность распределения вероятностей:  Это – функцией распределения. должна удовлетворять условию:. Вероятность того, что измеренное значение попадет в интервалравна . Тогда (5.5)

Выражение(5.5)–условие нормировки функции распределения.позволяет определить среднее значение любой функции: (5.6)  Если состояние системы характеризуется двумя параметрами и, то вероятность её нахождения в состоянии со значениями этих параметров в интервалахисоответственно равна , где - двумерная функция распределения. Примером такой функции может служить совместное распределение для координат и скоростей молекул газа. Для бесконечно малых интерваловивероятностьможно представить в виде .В случае статистической независимости значений параметров идруг от друга двумерная функция распределенийравна произведению функций распределенияи: