2.5. Коэффициент корреляции между двумя случайными напряжениями

На практике часто имеют дело с различными источниками шумовых напряжений и токов в компонентах ИС и электронных приборах. Рассмотрим для примера два случайных напряжения и₁(t) иu₂(t) в один и тот же момент времениt(τ = 0). Обычно, и тогда наиболее важными средними значениями, характеризующими случайные напряжения, являютсяи. Рассмотрим сумму двух случайных напряженийи₁(t) +u₂(t), приложенных к линейному резистору, после ее усреднения:

= = [++ 2. (2.28)

Здесь первые два члена в правой части соответствуют средним мощностям каждого из источников шума на сопротивлении 1 Ом. Последний член пропорционален произведению двух случайных величин и описывает их корреляцию, т.е. взаимосвязь. Если источники u₁(t) иu₂(t) независимы друг от друга, тогда их произведение в среднембудет равно нулю. В этом случае говорят, что источникиu₁(t) иu₂(t) не коррелированны (или некоррелированные источники шума).

Для двух коррелированных источников шумовых напряжений u₁(t),u₂(t) вводяткоэффициент корреляции(связи), который согласно соотношению (2.27б) вычисляется по формуле:

R(u₁,u₂) = (2.29)

Коэффициент корреляции может служить мерой зависимости между двумя случайными величинами и обладает следующими свойствами:

1. если источники u₁(t) иu₂(t) не коррелированны, тоR(u₁,u₂) = 0;

2. всегда 1;

3. = 1 тогда и только тогда, когда u₁(t) иu₂(t) линейно связаны, т.е. существуют числаa 0 иb 0 такие, чтоu₁(t) =au₂(t) +b. График зависимостиu₁= f(u₂) в этом случае есть прямая линия, проходящая через точки пересечения значений каждой пары случайных напряжений.

Коэффициент корреляции между двумя случайными величинами может изменяться в пределах от +1 до -1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной – минус 1.

При наличии на линейном двухполюснике двух некоррелированных источников шума = 0, и тогда суммарное среднеквадратичное напряжение шумасогласно (2.28) будет равно

= = [+ (2.30)

Если на линейном элементе электрической цепи (двухполюснике) имеется несколько независимых источников шумов, то полная мощность шума в такой цепи будет равна сумме мощностей каждого из источников. Т.е. средний квадрат суммарного шумового напряжения (или тока) на линейном элементе от различных некоррелированных источников шумов определяется как сумма квадратов напряжений (токов) отдельных источников шумов.

2.6. Метод Ланжевена

Этот метод был развит Ланжевеном вскоре после появления основополагающей работы Эйнштейна по теории броуновского движения (1905), где ему удалось учесть как вязкость, так и инерционные силы, действующие непосредственно на систему. Теория Ланжевена может быть использована при анализе флуктуационных явлений в различных системах. При этом записывается линеаризированное дифференциальное уравнение для рассматриваемой макросистемы, в правую часть которой наравне с истинными внешними силами вводят случайную возмущающую функцию, описывающую флуктуации (действие шумов), которые принимаются дельта-коррелированным стационарным случайным процессом.

Рассмотрим простейший случай движения свободной частицы массы Mв вязкой среде в направленииx, которое описывается уравнением движения Ньютона

M(2.31)

где v– составляющая скорости частицы вдоль осиx, а– соответствующая составляющая полной силы, действующей на частицу в произвольный момент времени.

Ланжевен предложил представить действующую на частицу силу в виде:

= -+, (2.32)

где слагаемое –v/B дает действующую со стороны среды на частицу среднюю силу, обусловливающую вязкость или трение. Здесь 1/B– коэффициент трения (B– подвижность), а член (t) учитывает быстро меняющуюся во времени часть силы и характеризует влияние очень частых отдельных соударений молекул среды с рассматриваемой частицей. Объединяя уравнения (2.31) и(2.32), получаем выражение:

M(2.33)

или после преобразования имеем:

(2.33а)

где – весьма быстро меняющаяся во времени величина, имеющая размерность ускорения и характеризующая молекулярные соударения, τ₁=MB– макроскопическое время релаксации для исследуемой частицы.

Здесь следует отметить, что характерное время t, необходимое для существенного изменения величиныв стохастическом дифференциальном уравнении первого порядка (2.33а), считается гораздо меньшим макроскопического времени релаксации τ₁ для исследуемой частицы. Т.е. случайная функцияв уравнении (2.33а) считается дельта-коррелированным случайным процессом.

Стохастическое дифференциальное уравнение (2.33а) можно записать в общем виде для произвольных спонтанных флуктуаций, например, для флуктуаций электрического тока или напряжения. В общем случае имеем стохастическое дифференциальное уравнение в виде:

(2.33б)

где макроскопическое время релаксации системы τ определяется параметром a = τ^-1, а функцияпредставляет собой дельта-коррелированный стационарный случайный процесс.

В (2.33б) стационарному случайному процессу соответствует стационарный случайный процессx(t). После применения преобразования Фурье к уравнению (2.33б) получим:

x(=(2.34)

и для СП флуктуаций процесса x(t) имеем соотношение:

S_x(=, (2.35)

где – СП белого шума для дельта-коррелированного случайного процесса.