- •1. Некоторые сведения о флуктуациях
- •1.1 Флуктуации давления газа в камере
- •1.2. Флуктуации скорости частицы при движении в вязкой среде. Переход от механики Ньютона к статистической механике.
- •1.3. Флуктуации электрических величин и шумы в радиофизике
- •2. Способы описания шумов
- •2.1. Статистические характеристики случайного процесса
- •2.1.1. Математические характеристики шума.
- •2.1.2. Автокорреляцинная функция
- •2.1.3. Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса
- •2.1.4. Tеорема Винера-Хинчина
- •2.2. Широкополосные и узкополосные случайные процессы. Б171
- •2.3. Импульсные случайные процессы
- •2.4. Взаимная корреляционная функция и взаимный энергетический спектр
- •2.5. Коэффициент корреляции между двумя случайными напряжениями
- •2.6. Метод Ланжевена
- •3. Краткие сведения о флуктуациях в электронных приборах. Физические источники шумов в твёрдых телах
- •3.1. Тепловой шум.
- •3.1.1. Вывод формулы Найквиста
- •3.1.2. Обобщенная теорема Найквиста для линейного двухполюсника
- •3.1.3. Формула Гупта.
- •3.1.4. Квантовая модификация формулы Найквиста
- •3.1.5. Мощность тепловых шумов
- •3.1.6. Флуктуационно-диссипационная теорема
- •3.2. Шум горячих электронов (диффузионный шум).Шумовая температура.
- •3.3. Дробовой шум. Связь между дробовым шумом и зарядом носителей.
- •3.4. Генерационно-рекомбинационный шум в полупроводниках.
- •3.5. Шум вида 1/f (фликкер-шум)
- •3.6. 1/F шум
- •3.7. Взрывной шум или шум в виде случайного телеграфного сигнала.
- •3.8. Шумы, обусловленные равновесными температурными флуктуациями
- •3.9. Фотонный шум
- •3.10. Магнитные шумы.
- •3.10.1. Скачки Баркгаузена.
- •3.10.2. Изучение эффекта Баркгаузена.
- •3.10.3. Ограничение чувствительности магнитных датчиков и считывающих устройств из-за шумов Баркгаузена
- •3.11. Равновесные и неравновесные флуктуации
- •4. Некоторые сведения о флуктуациях в физиологии и других природных системах.
- •4.1. Магнитные флуктуации в природе
- •4.2. Флуктуации в биологии и физиологии
- •4.3. Стохастический резонанс
- •5. Преобразование шума в линейных цепях
- •6. Эквивалентные шумовые схемы
- •6.1. Эквивалентные шумовые схемы пассивного двухполюсника
- •6.2. Эквивалентные шумовые схемы четырехполюсников
- •6.3. Коэффициент шума усилителя и методы его измерения
2.1.2. Автокорреляцинная функция
Среднее значение и дисперсия случайного процесса не описывают связи между величинами случайного напряжения в различные моменты времени. Для этого служит автокорреляционная (корреляционная) функция, которая показывает взаимосвязь случайной функции в различные моменты времени и которая является важнейшей характеристикой случайного процесса. В реальных системах изменение флуктуирующей величины не может происходить бесконечно быстро, и значения случайного процесса в разные моменты времени оказываются взаимосвязанными, т.е. шум обладает определенной памятью. Характеристикой шума, которая отражает связь между значениями случайного процесса в два различных момента времени, разделенные некоторым интервалом , и является корреляционная функция.
Рассмотрим стационарный случайный процесс x(t). Пусть x(t) случайная функция времени (случайный процесс), для которого среднее и дисперсия – постоянные величины, не зависящие от времени. Выделим два момента времени: t и t + . Автокорреляционная функция K() определяется как среднее по времени произведения случайных величин x(t) и x(t+) [1, 2]:
=. (2.7)
Автокорреляционная (корреляционная) функция есть мера продолжительности последействия флуктуаций, т.е. характеризует связь между предыдущими и последующими значениями случайной функции x(t).
Для стационарного случайного процесса среднее и дисперсия – постоянные величины, не зависящие от времени, а корреляционная функция зависит только от разности времен. Для большого числа практических задач корреляционная функция является достаточно полной характеристикой случайного процесса.
Автокорреляционная функция обладает следующими свойствами:
Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса K() является четной функцией временного сдвига так что K() = K(-). Это следует из определения стационарного случайного процесса, т.е. из условия независимости его характеристик от начала отсчета времени.
Автокорреляционная функция зависит только от разности аргумента = t 2 – t1. Вообще говоря, в статистической радиофизике случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его среднее и дисперсия не зависят от времени, а автокорреляционная функция зависит только от модуля временного сдвига ||.
Автокорреляционная функция максимальна при = 0, т.е.K(0) ≥ K(). Если интервал временного сдвига стремится к нулю, флуктуации становятся одинаковыми, и корреляционная функция равна дисперсии шума:K() (присреднем значении случайного процесса равном нулю), т.е.
В противоположном случае, когда интервал времени неограниченно возрастает, значения флуктуаций становятся взаимно независимыми, и, следовательно, корреляционная функция стремиться к нулю (присреднем значении случайного процесса равном нулю). Если же среднее значение случайного процесса m1 не равно нулю, тогда т.е. среднее значение m1 = . Для многих физических процессовK() при τи τОбъясняется это тем, что многие физические процессы имеют конечное времяпоследействия флуктуаций, которое характеризует связь между значениями случайной функции x(t) в предыдущие и последующие моменты времени.
На рис. 2.2. приведена типичная зависимость автокорреляционной функции случайного процесса K() от временного сдвига , иллюстрирующая указанные выше свойства этой функции. Здесь значение функции корреляции .
Рис. 2.2. Корреляционная функция стационарного случайного процесса.
Наряду с корреляционной функцией в теории случайных процессов вводят коэффициент корреляции стационарного случайного процесса, который определяется соотношением:
Rx(, (2.8)
где m1 – среднее значение случайной величины x, а – дисперсия.
Параметр Rx(называют также нормированной корреляционной функцией. Необходимо помнить, что коэффициент корреляции, определяемый соотношением (2.8) – не простое число, а функция временного сдвига .
Если среднее случайного процесса m1 равно нулю, тогда коэффициент корреляции (2.8) определяется соотношением:
Rx(. (2.8а)
Коэффициент корреляции Rx(обладает теми же свойствами, что и корреляционная функция. Он является четной функцией своего аргумента. Максимальное значение Rx(соответствует значению τ = 0, при котором Rx(= 1. При этом |Rx(1 при любом τ. Для чисто случайного процессаRx()при.
Коэффициент корреляции стационарного случайного процесса может принимать нулевые значения и при конечном τ. Для стационарного случайного процесса всегда можно указать такое значение временного сдвига , при котором абсолютная величина коэффициента корреляции будет меньше некоторой заданной величины, например, при . Величина временного интервала , на котором значение корреляционной функции существенно отличается от нуля, то есть время, в течение которого сохраняется информация о начальных характеристиках процесса (память процесса), называется временем корреляции (или интервалом корреляции) случайного процесса (шума) .
В некоторых случаях время корреляции определяют следующим выражением:
(2.9)
Иногда время корреляции определяют как половина площади основания прямоугольника единичной высоты, площадь которого равна площади под кривой модуля коэффициента корреляции Rx(, т.е. определяется выражением:
(2.9а)
Если известна информация о поведении какой-либо реализации случайного процесса в настоящий момент времени, то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка времени корреляции . Однако прогнозирование случайного процесса на время, значительно превышающее время корреляции, является безрезультатным, поскольку мгновенные значения случайной величины, столь далеко отстоящие по времени, практически некоррелированы, т.е. величина стремится к нулю при значении времени t >> .
Для белого шума время корреляции равно нулю, а корреляционная функция представляет собой - функцию. Подобный процесс является процессом без памяти, без последействия.