3.1.2. Обобщенная теорема Найквиста для линейного двухполюсника

Формула Найквиста обобщается на случай любого линейного двухполюсника с комплексным сопротивлением Z(f)=R(f)+iX(f), где R(f) – действительная часть, а X(f) – мнимая часть (i – мнимая единица). При этом для теплового шума двухполюсника справедлива общая формула Найквиста, представляемая так же, как и в случае активного сопротивления (рис. 3.10 и 3.12), согласно которой спектральные плотности шумового напряжения и тока определяется:

, (3.13)

, (3.13а)

где Z(f) - импеданс двухполюсника, зависящий от частоты, Ом.

Эти соотношения показывают, что возникновение теплового шума связано только с активным сопротивлением двухполюсника. Тепловой шум возникает только в активном сопротивлении, т.е. там, где происходит диссипация (поглощение) энергии. Реактивные же проводимости (идеальные емкости и индуктивности) теплового шума не дают. Реактивные элементы лишь преобразуют энергетический спектр флуктуаций. Однако необходимо иметь в виду, что в конденсаторе с потерями тепловой шум возникает. В реальной катушке индуктивности, имеющей активное сопротивление R, также следует учитывать его тепловой шум.

Рис. 3.4. Эквивалентная шумовая схема двухполюсника с комплексным сопротивлением Z, имеющим реальную часть R = , с генератором напряжения теплового шума: U_T.

В линейном пассивном двухполюснике шумовое напряжение и шумовой ток связаны между собой соотношением =Z(f)². На основе теоремы Нортона формулу Найквиста (3.13), записанную для среднего квадрата напряжения теплового шума можно представить также и для среднего квадрата шумового токав виде:

(3.14)

где Y(f) – адмитанс (комплексная проводимость) двухполюсника, зависящая от частоты.

Для СП шумового тока имеем:

(3.14a)

Таким образом, в общем случае тепловой шум линейного пассивного двухполюсника, имеющего реальную часть комплексного сопротивления =R, можно представить последовательно включенным шумовым генератором напряженияU_T(рис. 3.4) или генератором токаI_T, включенным параллельно реальной части комплексной проводимостиG=Y(f) по аналогии с (рис. 3.3).

Следует иметь в виду, что в равновесной системе напряжение теплового шума резистора U_Tи шумовой токI_Tявляются некоррелированными случайными величинами. Это и понятно, поскольку средняя мощностьP, выделяемая тепловым шумом в нагрузкеR1 (рис. 3.2), всегда должна быть равна нулю, т.е.P = .

3.1.3. Формула Гупта.

Гупта рассчитал тепловой шум для нелинейной чисто резистивной системы (1978). В случае нелинейной вольт-амперной характеристики (ВАХ) двухполюсника в формулы Найквиста (3.13) и (3.14) следует подставить дифференциальное активное сопротивление или дифференциальную активную проводимость в рабочей точке. Подобная система не запасает свободной энергии в реактивной составляющей, и любая энергия, поступающая в систему, преобразуется в тепло. Для нелинейного двухполюсника среднеквадратичное напряжение тепловых шумов определяется:

(3.15)

Выражение (3.15) называют формулой Гупта.

На практике для оценки уровня теплового шума нелинейного двухполюсника со слабой нелинейностью часто пользуются упрощенной формулой:

(3.16)

. (3.16а)

где ReZ(U) – активное дифференциальное сопротивление двухполюсника в рабочей точке.

Таким образом, в случае нелинейной ВАХ для чисто резистивного двухполюсника, например, для полупроводникового диода, в формулы Найквиста для среднего квадрата напряжения (3.13) или для среднего квадрата тока (3.14) подставляют дифференциальное динамическое активное сопротивление = ReZ(U) или активную проводимость образца = ReY(U) в рабочей точке соответственно.